вправа 2.21 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 2.21


Умова: 

 

Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм, менша сторона якого дорівнює 9 см, а гострий кут становить 60°. Більша з діагоналей паралелепіпеда дорівнює 29 см, а діагональ його більшої бічної грані 25 см. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

 

Розв'язання:


АВСDА1В1С1D1 - прямий паралелепіпед,
АВСD - паралелограм ребра основи є висотами паралелепіпеда і перпендикулярні основам.
АВ = 9 см,
∠ВАD = 60°,
А1С = 29 см,
А1D = 25 см.
Знайдемо Sбіч. - площу бічної поверхні паралелепіпеда.
Нехай АD = х.
Із ΔАА1D (∠АА1D = 90°) \begin{equation} AA_{1}=\sqrt{A_{1}D^{2}-AD^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{25^{2}-x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{625-x^{2}} \end{equation} Із ΔАА1С (∠А1АС = 90°) \begin{equation} AC=\sqrt{A_{1}C^{2}-AA^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{29^{2}-(625-x^{2})}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{216+x^{2}} \end{equation} Так як АВСD - паралелограм,
∠ВАD = 60°,
то ∠АВС = 180° - 60° = 120°.
Із ΔАВС за теоремою косинусів:
АС² = АВ² + ВС² -
- 2АВ • ВСcos∠АВС
216 + х² = 9² + х² -
- 2 • 9 • хcos120°
216 + х² = 81 + х² + 9х
9х = 135 х = 15
Отже, АD = 15 см, \begin{equation} h=AA_{1}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{625-15^{2}}=20 (см) \end{equation} Sбіч. = Росн. • h,
де Росн. - периметр АВСD.
Sбіч. = 2(АВ + АD) • h =
= 2(9 + 15) • 20 = 960 (см²).
Відповідь: 960 см²