вправа 2.22 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Вправа 2.22
Умова:
У кубі ABCDA1B1C1D1 знайдіть кут між прямою АВ1 і площиною АВС1.
Розв'язання:
АВСDА1В1С1D1 - куб, тоді всі ребра рівні, позначимо довжини а.
Крім того, всі бічні грані - квадрати,
переріз АВС1D1 - прямокутник.
Так як ВВ1С1С - квадрат,
то В1С ┴ ВС1.
Нехай В1С ∩ ВС1 = k.
Тоді ВК ┴ ВС1 і відповідно
ВК ┴ (АВС1).
Тоді АК - проекція прямої АВ1 на площину (АВС1),
уголВ1АК - кут між прямою АВ1 і площиною (АВС1).
АВ1 - діагональ квадрата АА1В1В,
тому АВ1 = а√2.
Аналогічно В1С = а√2 - діагональ \begin{equation} B_{1}K=\frac{1}{2}B_{1}C= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}a\sqrt{2} \end{equation} Із ΔАВ1К: \begin{equation} sin\angle B_{1}AK=\frac{B_{1}K}{AB} \end{equation} \begin{equation} sin\angle B_{1}AK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \end{equation} Отже, \begin{equation} \angle B_{1}AK= \end{equation} \begin{equation} =arcsin\frac{1}{2}=30^{\circ}. \end{equation} Відповідь: 30°