вправа 2.23 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Вправа 2.23
Умова:
У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 відомі ребра АB = 35, AD = 12, CC1 = 21, Знайдіть кут між площинами ABC і A1DB.
Розв'язання:
АВСDА1В1С1D1 - прямокутний паралелепіпед,
АВСD - прямокутник
АВ = 35
АD = 12
АА1 = СС1 = 21 - висота паралелепіпеда.
Проведемо А1К ┴ ВD.
Так як АА1 ┴ (АВС),
то ΔАА1К - прямокутний
(∠А1АК = 90°).
За теоремою про три перпендикуляри із того,
що А1К ┴ ВD слідує,
що АК ┴ ВD,
тому ∠А1КА - кут між площинами АВС і А1DВ.
Із ΔАВD (∠ВАD = 90°) \begin{equation} BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{35^{2}+12^{2}}=37 \end{equation} АК - висота ΔАВD, тому \begin{equation} AK=\frac{AB\cdot AD}{BD} \end{equation} \begin{equation} AK=\frac{35\cdot 12}{37}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{420}{37} \end{equation} Із ΔАА1К (∠А1АК = 90°) \begin{equation} tg\angle A_{1}KA=\frac{AA_{1}}{AK} \end{equation} \begin{equation} tg\angle A_{1}KA= \end{equation} \begin{equation} =\frac{21}{\frac{420}{37}}=\frac{37}{20}. \end{equation} \begin{equation} Відповідь: \frac{37}{20} \end{equation}