вправа 2.9 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 2.9


Умова: 

 

Знайдіть площу повної поверхні прямокутного паралелепіпеда, діагональ якого дорівнює 3 см, а діагоналі бічних граней √5 см і 2√2 см.

 

Розв'язання:


Нехай ABCDA1B1C1D1 - прямокутний паралелепіпед,
тоді АВСD - прямокутник, бічні ребра перпендикулярні до основ, бічні грані - прямокутники.
В1D = 3 см,
АВ1 = √5 см,
В1С = 2√2 см.
Знайдемо Sпов. - площу повної поверхні паралелепіпеда.
Позначимо h - висота паралелепіпеда.
Із ΔАВВ1 (∠АВВ1 = 90°)
АВ² = АВ₁² - ВВ₁²
АВ² = 5 - h²
Із ΔВВ1С (∠В1ВС = 90°)
ВС² = В1С² - ВВ₁²
ВС² = (2√2)² - h²
ВС² = 8 - h²
Із ΔВ1ВD (∠В1ВD = 90°)
ВD² = В1D² - ВВ₁²
ВD² = 9 - h²
АВСD - прямокутник, тому АС = ВD
Із ΔАВС (∠АВС = 90°)
АС² = АВ² + ВС²
9 - h² = 5 - h² + 8 - h²
h² = 4,
звідки h = 2.
Отже, \begin{equation} AB=\sqrt{5-2^{2}}=1, \end{equation} \begin{equation} BC=\sqrt{8-2^{2}}=2 \end{equation} Sпов. = Sбіч. + 2Sосн. =
= Росн. • h + 2Sосн. =
= 2(АВ + ВС) • h + 2АВ • ВС
Sпов. = 2(1 + 2) • 2 +
+ 2 • 1 • 2 = 16 (см²).
Відповідь: 16 см²