вправа 3.10 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 3.10


Умова: 

 

Основою прямої призми є прямокутний трикутник із катетами 20 см і 21 см. Через середину гіпотенузи перпендикулярно до неї проведено площину. Знайдіть площу перерізу, якщо бічне ребро призми дорівнює 42 см.

 

Розв'язання:


АВСА1В1С1 - пряма призма,
бічні ребра перпендикулярні основам і є висотами,
АА1 = 42,
ΔАВС - прямокутний,
∠АСВ = 90°,
АС = 20 см,
ВС = 21 см.
Нехай т.N - середина АВ.
Проведемо в площині АВС відрізок NM так,
що NM ┴ АВ.
Проведемо NN1 ┴ АВ,
NN1 ⊂ (АА1В1),
тоді площина МNN1 ┴ АВ.
Так як (АВС)║(А1В1С1),
то М1N1║МN.
З'єднаємо точки М і М1,
тоді МNN1М1 - переріз.
Так як NN1 ┴ (АВС),
то МNN1М1 - прямокутник.
Знайдемо SМNN₁М₁.
Із ΔАВС (∠АСВ = 90°). \begin{equation} AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{20^{2}+21^{2}}=29 (см) \end{equation} \begin{equation} tg\angle ABC=\frac{AC}{BC} \end{equation} \begin{equation} tg\angle ABC=\frac{20}{21} \end{equation} Так як т.N - середина АВ, то \begin{equation} NB=\frac{1}{2}AB=14,5 (см) \end{equation} Із ΔМNВ (∠МNВ = 90°) \begin{equation} tg\angle ABC=\frac{MN}{NB}, \end{equation} звідки МN = NВtg∠АВС \begin{equation} MN=\frac{14,5\cdot 20}{21}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{290}{21} \end{equation} Отже, SМNN₁М₁ = МN • NN1
Так як NN1 ┴ (АВС),
(АА1) ┴ (АВС),
то NN1║АА1 і NN1 = АА1.
SМNN₁М₁ = МN • NN1 = \begin{equation} =\frac{290}{21}\cdot 42=580 (см^{2}). \end{equation} Відповідь: 580 см²