вправа 3.12 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

 

Вправа 3.12


Умова:
 
 
Кожне ребро правильної шестикутної призми ABCDEFA1B1C1D1E1F1 дорівнює а. Побудуйте переріз призми площиною, що проходить:
1) через вершини А, С і D1;
2) через вершини А, В і Е1.
Обчисліть площі цих перерізів.
 


Розв'язання:

1) вправа 3.12 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильна призма.
Проведемо АС.
Так як основи призми паралельні, то верхня основа перетинається перерізом по прямій паралельній АС і проходе через т.D1, тобто по прямій D1К1.
Так як С і D1 лежать в одній площині, то з'єднаємо їх відрізком СD1, аналогічно з'єднаємо А і F1.
Тоді АСD1F1 - заданий переріз.
Знайдемо його площу SАСD1F1.
Так як бічні грані призми перпендикулярні
(СС1D1)║(АFF1), то СD1 = АF1.
Аналогічно, D1F1 = АС.
АСD1F1 - прямокутник.
Якщо сторона АВ = а, то АС = а3.
АА1F1F - квадрат, тоді АF1 = а2.
SАСD1F1 = АС • АF1 =
= а3 • а2 = а26.

2) 3 12 2

ABCDEFA1B1C1D1E1F1 - правильна призма.
Так як основи призми паралельні, то перетин проходе через АВ і пряму паралельну до АВ, яка лежить в площині верхньої основи і на якій знаходиться т.Е1.
Це пряма Е1D1.
Позначимо АВ ∩ DС = К,
тоді К належить перерізу,
а також площині СС1D1D.
Проведемо D1К, D1К ∩ СС1 = М.
Позначимо ЕF ∩ АВ = О,
тоді т.О належить перерізу, а
також грані FF1Е1Е.
Проведемо пряму ОЕ1,
ОЕ1 ∩ FF1 = N.
Шестикутник АВМD1Е1N - заданий переріз.
Знайдемо його площу за формулою: \begin{equation} S_{ABMD_{1}E_{1}N}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{ABCDEF}{cos\varphi }, \end{equation} де φ - кут, який утворює даний переріз з площиною основи.
Так як АЕ ┴ АВ,
то АЕ1 ┴ АВ (за теоремою про три перпендикуляри), і ∠ЕАЕ1 =φ.
За умовою ребра призми дорівнюють а,
тому ЕЕ1 = а, АЕ = а3.
Із ΔАЕЕ1: \begin{equation} AE_{1}=\sqrt{EE_{1}^{2}+AE^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{a^{2}+(a\sqrt{3})^{2}}=2a \end{equation} \begin{equation} cos\varphi =\frac{AE}{AE_{1}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{equation} Площа шестикутника ABCDEF.
Знайдемо за формулою: \begin{equation} S_{ABCDEF}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}, \end{equation} тоді \begin{equation} S_{ABMD_{1}E_{1}N}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{S_{ABCDEF}}{cos\varphi }= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3\sqrt{3}a^{2}\cdot 2}{2\cdot \sqrt{3}}=3a^{2}. \end{equation} Відповідь: 1) а2√6; 2) 3а2