вправа 3.6 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 3.6


Умова: 

 

Сторони основи прямої трикутної призми дорівнюють 13 см, 37 см і 40 см, а бічне ребро 20 см. Знайдіть:
1) площу перерізу призми площиною, що проходить через бічне ребро й меншу висоту основи призми;
2) площу перерізу призми площиною, що проходить через сторону основи під кутом 30° до площини основи.

 

Розв'язання:


АВСА1В1С1 - пряма призма.
АВ = 40 см,
ВС = 37 см,
АС = 13 см,
СС1 = 20 см.
1) СММ1С1 - переріз, прямокутник (див. №3.4).
Знайдемо площу ΔАВС: \begin{equation} S_{\Delta ABC}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{equation} \begin{equation} p=\frac{40+37+13}{2}=45 \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{45(45-40)} \end{equation} \begin{equation} \sqrt{(45-37)(45-13)}=240 \end{equation} З іншого боку: \begin{equation} S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}CM\cdot AB, \end{equation} тоді \begin{equation} \frac{1}{2}CM\cdot 40=240, \end{equation} звідки СМ = 12 (см)
SСММ₁С₁ = СМ • СС1
SСММ₁С₁ = 12 • 20 = 240 (см²).
2) ΔАКС - переріз призми площиною, що проходе через сторону основи АС під кутом 30° до основи,
SΔАКС - площа ΔАСК.
Так як ВВ1 ┴ (АВС),
то ΔАВС є ортогональною проекцією ΔАСК,
тоді S_ΔАВС = S_ΔАВКcosφ,
де φ - кут між площинами (АВС) і (АСК).
Тоді \begin{equation} S_{\Delta ACK}=\frac{S_{\Delta ABC}}{cos\varphi } \end{equation} \begin{equation} S_{\Delta ACK}=\frac{240}{\frac{\sqrt{3}}{2}}= \end{equation} \begin{equation} =160\sqrt{3} (см^{2}). \end{equation} Відповідь:
1) 240 см²; 2) 160√3 см²