вправа 3.8 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 3.8


Умова: 

 

Діагональ основи правильної чотирикутної призми дорівнює 10√2 см, а висота 20 см. Знайдіть:
1) площу діагонального перерізу призми;
2) площу перерізу, що проходить через протилежні сторони основ призми;
3) площу перерізу призми, що проходить через сторону основи під кутом 45° до неї.

 

Розв'язання:


АВСDА1В1С1D1 - правильна призма,
АВСD - квадрат,
АС = 10√2.
Бічні ребра перпендикулярні основам і є висотами призми,
АА1 = СС1 = 20 см.
1) АА1С1С - діагональний переріз, прямокутник.
SАА₁С₁С = АА1 • АС =
= 20 • 10√2 = 200√2 (см²).
2) Так як А1D і В1С - діагоналі бічних граней, які паралельні між собою,
то А1D = В1С,
А1В = СD - протилежні ребра призми,
СD ┴ (АDD1),
тому СD ┴ А1D,
то А1В1СD - переріз, що проходе через протилежні сторони основ призми, прямокутник.
Так як АВСD квадрат, то \begin{equation} CD=\frac{AC}{\sqrt{2}} \end{equation} \begin{equation} CD=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=10 (см) \end{equation} Із ΔА1АD (∠А1АD = 90°) \begin{equation} A_{1}D=\sqrt{AA_{1}^{2}+AD^{2}} \end{equation} АD = СD = 10 \begin{equation} A_{1}D=\sqrt{20^{2}+10^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =10\sqrt{5} (см) \end{equation} SА₁В₁СD = А1D • СD
SА₁В₁СD = 10√5 • 10 = 100√5 (см²).
3) В площині АА1D1D побудуємо DМ так,
що ∠АDМ = 45°.
Використовуючи паралельність протилежних граней призми, проведемо СК в площині ВВ1С1С. Сполучимо К і М, СDМК - переріз (прямокутник).
Із ΔАMD (∠МАD = 90°) \begin{equation} DM=\frac{AD}{cos45^{\circ}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=10\sqrt{2} \end{equation} SСDМК = СD • DМ
SСDМК = 10 • 10√2 = 100√2 (см²).
Відповідь:
1) 200√2 см2; 2) 100√5 см²