вправа 3.9 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 3.9


Умова: 

 

Діагональ основи правильної чотирикутної призми дорівнює 4√2 см, а діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайдіть площу перерізу призми, що проходить через сторону нижньої основи й протилежну сторону верхньої основи.

 

Розв'язання:


АВСDА1В1С1D1 - правильна призма.
Бічні ребра перпендикулярні основам і є висотами призми,
тому СС1 ┴ (АВС),
СС1 ┴ АС.
Отже, АС - проекція АС1 на (АВС),
тому ∠САС1 = 60° - кут нахилу діагоналі призми до основи.
А1В1║СD і А1В1 = СD,
А1D║В1С і А1D = В1С,
СD ┴ (АА1D1),
тому СD ┴ А1D,
отже переріз А1В1СD - прямокутник.
Знайдемо його площу:
SА₁В₁СD - ?
Із ΔАСС1 (∠АСС1 = 90°)
СС1 = АСtg∠САС1 =
= 4√2 • tg60° = 4√6 (см)
Призма правильна,
тому АВСD - квадрат,
отже АВ = ВС = АD = \begin{equation} =\frac{AC}{\sqrt{2}} \end{equation} \begin{equation} CD=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4 (см) \end{equation} Із ΔА1АD (∠А1АD = 90°) \begin{equation} A_{1}D=\sqrt{AA_{1}^{2}+AD^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{96+16}=\sqrt{112}. \end{equation} Тоді
SА₁В₁СD = СD • А1D = \begin{equation} =\sqrt{112}\cdot 4=16\sqrt{7} (см^{2}). \end{equation} \begin{equation} Відповідь: 16\sqrt{7} см^{2} \end{equation}