вправа 4.10 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова
 

Вправа 4.10


Умова: 
 
Знайдіть площу повної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо її апофема дорівнює 10 см, а висота 8 см.
 


Розв'язання:

вправа 4.10 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
SАВС - правильна піраміда,
SО - висота,
SО = 8 см,
т.О - центр ΔАВС,
ΔАВС - рівносторонній.
Проведемо SМ ┴ АС,
SМ - апофема,
SМ = 10 см.
Так як SО ┴ (АВС),
SМ ┴ АС,
то ОМ ┴ АС,
тоді ОМ - радіус кола вписаного в ΔАВС.
Із ΔSОМ (∠SОМ = 90°) \begin{equation} OM=\sqrt{SM^{2}-SO^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6 (см) \end{equation} Так як ОМ - радіус вписаного кола в ΔАВС, то \begin{equation} OM=\frac{a}{2\sqrt{3}}, \end{equation} де а - сторона ΔАВС.
Звідси
а = 2√3ОМ = 2√3 • 6 =
= 12√3 (см) \begin{equation} S_{повн.}=\frac{1}{2}P_{\Delta ABC}\cdot \end{equation} \begin{equation} \cdot SM+S_{\Delta ABC}, \end{equation} \begin{equation} де S_{\Delta ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \end{equation} \begin{equation} S_{повн.}=\frac{1}{2}3\cdot 12\sqrt{3}\cdot 10+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{(12\sqrt{3})^{2}\cdot \sqrt{3}}{4}= \end{equation} \begin{equation} =180\sqrt{3}+108\sqrt{3}= \end{equation} \begin{equation} =288\sqrt{3} (см^{2}). \end{equation} Відповідь: 288 см2