вправа 4.11 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 4.11


Умова: 

 

За стороною основи а знайдіть площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, діагональний переріз якої рівновеликий основі.

 

Розв'язання:


SАВСD - правильна призми,
SO - основа призми,
О = АС ∩ ВD,
АВСD - квадрат,
АВ = ВС = СD = АD = а.
ΔSАС - діагональний переріз,
SΔSАС = SАВСD так як діагональний переріз рівновеликий основі.
Знайдемо Sбіч. - площу бічної поверхні.
SАВСD = а², \begin{equation} S_{SAC}=\frac{1}{2}AC\cdot SO \end{equation} АС = а√2,
так як АВСD - квадрат.
Отже, \begin{equation} \frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot SO=a^{2}, \end{equation} тоді SО = а√2.
Проведемо SК ┴ АD,
SК - апофема.
Так як SО ┴ (АВСD)
і SК ┴ АD,
то ОК ┴ АD,
ОК - радіус вписаного кола в АВСD, \begin{equation} OK=\frac{1}{2}a \end{equation} Із ΔSОК (∠SОК = 90°) \begin{equation} SK=\sqrt{SO^{2}+OK^{^{2}}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{(a\sqrt{2})^{2}+(\frac{1}{2}a)^{^{2}}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{2a^{2}+\frac{1}{4}a^{^{2}}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3}{2}a \end{equation} \begin{equation} S_{біч.}=\frac{1}{2}P_{ABCD}\cdot SK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot \frac{3}{2}a=3a^{2}. \end{equation} Відповідь: 3а²