вправа 4.12 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

 

Вправа 4.12


Умова:
 
 
Площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди в 2 рази більша за площу основи. Знайдіть кут між бічною гранню й основою піраміди.
 


Розв'язання:

Нехай задана правильна трикутна призма.
Позначимо а - сторона основи,
l - апофема,
r - радіус вписаного кола в основу,
φ - кут між апофемою і радіусом r (φ також кут між бічною гранню та основою піраміди).
Sбіч. - площа бічної поверхні піраміди.
Sосн. - площа основи.
Знайдемо кут φ.
За умовою Sбіч. = 2Sосн. \begin{equation} S_{біч.}=\frac{1}{2}\cdot 3al \end{equation} \begin{equation} S_{осн.}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \end{equation} Тоді \begin{equation} \frac{1}{2}\cdot 3al=\frac{2a^{2}\sqrt{3}}{4}, \end{equation} звідси \begin{equation} \frac{a}{l}=\sqrt{3}. \end{equation} Так як \begin{equation} cos\varphi =\frac{r}{l}, \end{equation} \begin{equation} то cos\varphi =\frac{a}{2\sqrt{3}l}. \end{equation} Підставивши замість \begin{equation} \frac{a}{l}=\sqrt{3}, \end{equation} маємо: \begin{equation} cos\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}; \end{equation} \begin{equation} cos\varphi =\frac{1}{2}, \end{equation} тоді \begin{equation} \varphi =arccos\frac{1}{2}=60^{\circ}. \end{equation} Відповідь: 60°