вправа 4.14 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 4.14


Умова: 

 

Знайдіть сторону основи правильної чотирикутної піраміди, якщо її бічне ребро дорівнює 5 см, а площа повної поверхні 16 см².

 

Розв'язання:


SАВСD - правильна піраміда,
SА = 5 см - бічне ребро.
Проведемо SМ ┴ АВ,
SМ - апофема.
Sпов. = 16 см² - повна поверхня піраміди.
Знайдемо а - сторону основи.
Позначимо l - апофема, тоді \begin{equation} S_{пов.}=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot l+a^{2}= \end{equation} \begin{equation} =2al+a^{2}. \end{equation} Із ΔSАМ (∠SМА = 90°) \begin{equation} l=SM= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{SA^{2}-AM^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{5^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{25-\frac{a^{2}}{4}}, \end{equation} тоді \begin{equation} S_{пов.}=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot \end{equation} \begin{equation} \cdot \sqrt{25-\frac{a^{2}}{4}}+a^{2} \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{2}\cdot 4a\sqrt{25-\frac{a^{2}}{4}}+a^{2}=16 \end{equation} \begin{equation} 2a\sqrt{25-\frac{a^{2}}{4}}=16-a^{2} \end{equation} \begin{equation} 4a^{2}(25-\frac{a^{2}}{4})= \end{equation} \begin{equation} =256-32a^{2}+a^{4} \end{equation} 100а² - а⁴ =
= 256 - 32а² + а4
2а⁴ - 132а² + 256 = 0
а⁴ - 66а² + 128 = 0
Нехай а² = t, t > 0,
тоді t² - 66t + 128 = 0
Д = 4356 - 512 = 3844 \begin{equation} t_{1}=\frac{66-62}{2}=2 \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{66+62}{2}=64 \end{equation} а² = 2,
звідки а = √2
а² = 64,
звідки а = 8.
Але, якщо а = 8,
то Sосн. = 64 см² \begin{equation} S_{повн.}=2\cdot 8\sqrt{25-\frac{64}{4}}= \end{equation} \begin{equation} =48 (см^{2}) \end{equation} Тобто, площа основи більше ніж площа повної поверхні.
Тому, а ≠ 8,
а = √2 см.
Відповідь: √2 см