вправа 4.4 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова
 

Вправа 4.4


Умова: 
 
За стороною основи а і висотою Н знайдіть апофему правильної піраміди:
1) трикутної;
2) чотирикутної;
3) шестикутної.
 


Розв'язання:

1) Нехай SАВС - правильна піраміда (мал. №4.3.1),
SО = Н, АВ = а.
Позначимо l - апофема, r - радіус вписаного кола, тоді \begin{equation} r=\frac{a}{2\sqrt{3}}, \end{equation} \begin{equation} l=\sqrt{H^{2}+r^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{H^{2}+(\frac{a}{2\sqrt{3}})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{H^{2}+\frac{a^{2}}{12}}. \end{equation} 2) Нехай SАВСD - правильна піраміда (мал. №4.3.2),
SО = Н, АВ = а.
Позначимо l - апофема, тоді \begin{equation} l=\sqrt{H^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{H^{2}+\frac{a^{2}}{4}}. \end{equation} 3) Нехай SАВСDЕF - правильна піраміда (мал. №4.3.3),
SО = Н, АВ = а.
Позначимо l - апофема, r - радіус вписаного кола, тоді \begin{equation} l=\sqrt{H^{2}+r^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{H^{2}+(\frac{\sqrt{3}a}{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{H^{2}+\frac{3a^{2}}{4}}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 1)\sqrt{H^{2}+\frac{a^{2}}{12}}; \end{equation} \begin{equation} 2)\sqrt{H^{2}+\frac{a^{2}}{4}}; \end{equation} \begin{equation} 3)\sqrt{H^{2}+\frac{3a^{2}}{4}} \end{equation}