вправа 4.8 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

11 клас ➠ математика ➠ Нелін Долгова

 

Вправа 4.8


Умова: 

 

Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо її висота дорівнює 4 см, а апофема 8 см.

 

Розв'язання:


SАВС - правильна піраміда,
SО - висота піраміди,
т.О центр ΔАВС,
SО = 4 см.
Проведемо SМ ┴ АС,
тоді SМ - апофема, SМ = 8 см.
Знайдемо Sбіч. \begin{equation} S_{біч.}=\frac{1}{2}P_{\Delta ABC}\cdot SM \end{equation} Із ΔSОМ (∠SОМ = 90°)
так як SМ ┴ АС,
то за теоремою про три перпендикуляри ОМ ┴ АС.
Тоді ОM - радіус вписаного кола ΔАВС. \begin{equation} OM=\sqrt{SM^{2}-SO^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}(см) \end{equation} Із ΔАВС (ΔАВС - рівносторонній). \begin{equation} OM=\frac{a}{2\sqrt{3}}, \end{equation} а - сторона ΔАВС, тоді \begin{equation} a=2\sqrt{3}OM= \end{equation} \begin{equation} =2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=24 (см) \end{equation} \begin{equation} S_{біч.}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 24\cdot 8= \end{equation} \begin{equation} =288 (см^{2}). \end{equation} Відповідь: 288 см²