вправа 4.9 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Вправа 4.9
Умова:
Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°, а сторона її основи дорівнює а.
Розв'язання:
SАВС - трикутна піраміда,
SО - висота,
т.О - центр ΔАВС,
ΔАВС - правильний,
АВ = АС = ВС = а,
SА = SВ = SС.
SО ┴ (АВС),
тоді АО - проекція ребра SА на площину (АВС),
∠SАО - кут між ребром SА і площиною основи.
Отже, ∠SАО = 45°.
Знайдемо Sбіч. \begin{equation} S_{біч.}=\frac{1}{2}P_{\Delta ABC}\cdot l, \end{equation} де l - апофема.
Проведемо SМ ┴ АС,
SМ - апофема.
Так як SО ┴ (АВС),
SМ ┴ АС, то за теоремою про три перпендикуляри ОМ ┴ АС,
тоді ОМ - радіус вписаного кола в ΔАВС, отже \begin{equation} OM=\frac{a}{2\sqrt{3}} \end{equation} ОА - радіус описаного кола навколо ΔАВС, тоді \begin{equation} OA=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{equation} ΔSОА - прямокутний (∠SОА = 90°) рівнобедрений (∠SАО = 45°), тому \begin{equation} SO=OA=\frac{a}{\sqrt{3}} \end{equation} Із ΔSОМ (∠SОМ = 90°) \begin{equation} SM=\sqrt{SO^{2}+OM^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{12}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{3}} \end{equation} \begin{equation} S_{біч.}=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a^{2}\sqrt{15}}{4}. \end{equation} \begin{equation} Відповідь: \frac{a^{2}\sqrt{15}}{4} \end{equation}