вправа 5.14 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Вправа 5.14
Умова:
Основою піраміди є правильний трикутник. Одна з бічних граней піраміди перпендикулярна до площини її основи, а дві інші нахилені до неї під кутом а. Під якими кутами нахилені до площини основи бічні ребра?
Розв'язання:
SАВС - піраміда,
(SАС) ┴ (АВС),
тоді SК ┴ АС.
SК - висота піраміди.
Проведемо SМ ┴ ВС,
SN ┴ АВ.
За теоремою про три перпендикуляри
КМ ┴ ВС,
КN ┴ АС.
Отже, ∠SNК = ∠SМК = α -
лінійні кути двогранних кутів.
ΔSМК = ΔSNК
(SК - спільний катет,
∠SNК = ∠SМК),
тоді МК = NК.
ΔМКС = ΔNКА
(МК = NК,
∠МСК = ∠NАК = 60°,
так як ΔАВС - рівносторонній),
тоді АК = СК.
Нехай АВ = ВС = АС = а,
тоді \begin{equation} AK=CK=\frac{a}{2} \end{equation} Із ΔСМК (∠СМК = 90°)
МК = КСsin60° = \begin{equation} =\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4} \end{equation} Із ΔSМК: \begin{equation} SK=MKtg\alpha = \end{equation} \begin{equation} =\frac{a\sqrt{3}}{4}tg\alpha \end{equation} Із ΔSКС (∠SСК = 90°): \begin{equation} tg\angle SCK=\frac{SK}{CK} \end{equation} \begin{equation} tg\angle SCK= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a\sqrt{3}tg\alpha \cdot 2}{4a}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\sqrt{3}}{2}tg\alpha \end{equation} \begin{equation} \angle SCK=\angle SAK= \end{equation} \begin{equation} =arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}tg\alpha ) \end{equation} Із ΔВСК (∠ВКС = 90°) \begin{equation} BK=CKtg60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{equation} Із ΔSВК (∠SКВ = 90°) \begin{equation} tg\angle SBK=\frac{SK}{BK}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a\sqrt{3}tg\alpha \cdot 2}{4a\sqrt{3}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}tg\alpha \end{equation} \begin{equation} \angle SBK=arctg(\frac{1}{2}tg\alpha ). \end{equation} Відповідь: \begin{equation} arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}tg\alpha ); \end{equation} \begin{equation} arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}tg\alpha ); \end{equation} \begin{equation} arctg(\frac{1}{2}tg\alpha ) \end{equation}