вправа 5.15 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Вправа 5.15
Умова:
В основі піраміди лежить ромб зі стороною а і кутом 60°. Одна з бічних граней піраміди перпендикулярна до площини її основи, а дві сусідні з нею грані утворюють з основою кути по 45°. Знайдіть висоту піраміди.
Розв'язання:
SАВСD - піраміда,
АВСD - ромб,
∠ВАD = 60°,
АВ = а,
(АSВ) ┴ (АВС).
Нехай SО - висота піраміди.
Проведемо
SN ┴ ВС,
SМ ┴ АD,
тоді за теоремою про три перпендикуляри
ВС ┴ ОN,
АD ┴ ОМ.
ΔSОМ =ΔSОN
(за умовою
∠SNО = ∠SМО = 45° -
лінійні кути двогранних кутів,
SО - спільний катет N,
тоді ОN = ОМ.
ΔАОМ = ΔВОN
(∠АОN = ∠АОМ - вертикальні,
ОМ = ОN), тоді \begin{equation} AO=BO=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2} \end{equation} Із ΔАОМ:
ОМ = АО • sin∠ОАМ = \begin{equation} =\frac{a}{2}sin60^{\circ}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4} \end{equation} ΔSОМ - прямокутний, рівнобедрений, тому \begin{equation} SO=OM=\frac{a\sqrt{3}}{4}. \end{equation} \begin{equation} Відповідь: \frac{a\sqrt{3}}{4} \end{equation}