вправа 7.14 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

 


Вправа 7.14


Умова: 

 

Осьовим перерізом циліндра є квадрат, діагональ якого дорівнює 10√2. Знайдіть площі бічної і повної поверхонь правильної призми, вписаної в цей циліндр, якщо призма:
1) трикутна;
2) чотирикутна;
3) шестикутна.



Розв'язання:

вправа 7.14 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019
Нехай задано циліндр.
Позначимо R - радіус основи циліндра,
Н - висота циліндра.
Так як осьовим перерізом циліндра є квадрат, то сторона цього квадрата дорівнює \begin{equation} \frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=10 \end{equation} (d - діагональ квадрата).
Тоді 2R = 10, звідки R = 5, Н = 10.
Нехай в циліндрі вписана правильна призма, тоді висота h призми дорівнює висоті циліндра,
тобто h = Н = 10.
Сторона основи призми дорівнює стороні правильного n-кутника вписаного в коло радіуса R = 5.
1) Нехай в циліндрі вписана правильна трикутна призма, n = 3.
Тоді а3 = R√3 = 5√3, де а3 - сторона основи призми.
Sбіч. = 3а3 • Н =
= 3 • 5√3 • 10 = 150√3 (кв.од.)
Sпов. = Sбіч. + 2Sосн. \begin{equation} 2S_{осн.}=2\cdot \frac{a_{3}^{2}\sqrt{3}}{4}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{a_{3}^{2}\sqrt{3}}{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{(5\sqrt{3})^{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=37,5\sqrt{3} \end{equation} Sпов. = 150√3 + 37,5√3 = 187,5√3 (кв.од.).

2) Нехай в циліндр вписана чотирикутна призма, n = 4.
Тоді а4 = R√2 = 5√2, де а4 - сторона основи призми.
Sбіч. = 4а4 • Н =
= 4 • 5√2 • 10 = 200√2 (кв.од)
2Sосн. = 2а42 =
= 2 • (5√2)2 = 100 (кв.од)
Sпов. = Sбіч. + 2Sосн. =
= 200√2 + 100 =
= 100(2√3 + 1) (кв.од).

3) Нехай в циліндр вписана правильна шестикутна призма, n = 6.
Тоді а6 = R = 5, де а6 - сторона основи призми.
Sбіч. = 6а6 • Н =
= 6 • 5 • 10 = 300 (кв.од) \begin{equation} S_{осн.}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a_{6}^{2} \end{equation} \begin{equation} S_{осн.}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 5^{2}= \end{equation} \begin{equation} =37,5\sqrt{3} (кв.од.) \end{equation} Sпов. = Sбіч. + Sосн. =
= 300 + 75√3 =
= 75(4 + √3) (кв.од).

Відповідь:
1) 150√3 кв.од.; 187√3 кв.од;
2) 200√2 кв.од.; 100(2√2 + 1) кв.од.; 
3) 300 кв.од.; 75(4 + √3) кв.од.