вправа 8.10 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 8.10


Умова: 

Висота конуса дорівнює Н. На якій відстані від вершини треба провести площину, паралельну основі, щоб площа перерізу дорівнювала половині площі основи?

Розв'язання:



Нехай задано конус,
SО - висота,
АО - радіус,
SА - твірна конуса.
Площина паралельна основі конуса перетинає його по кругу радіусом О1А1,
тоді SО1 - відстань від вершини S конуса до О1 - центра круга (перетину).
За умовою SО = Н.
Площина SО1А1 перетинає паралельні площини до паралельних прямих:
А1О1 || АО.
Тоді ΔSОА ~ SО1А1 і
∠SОА = ∠SО1А1 = 90°,
∠АSО = ∠А1SО.
Із ΔSОА: \begin{equation} tg\angle ASO=\frac{AO}{SO} \end{equation} Із ΔSО1А1: \begin{equation} SO_{1}=\frac{A_{1}O_{1}}{tg\angle ASO} \end{equation} \begin{equation} SO_{1}=\frac{A_{1}O_{1}}{AO}\cdot SO \end{equation} Так як за умовою площа основи
Sосн. = ПИ • АО2 і площа перерізу
Sпер. = ПИ • А₁О₁² задовольняють умову
Sосн. = 2Sпер., тобто
π • АО₂ = 2π • А₁О₁2,
то АО = А₁О₁√2.
Тоді \begin{equation} SO_{1}=\frac{A_{1}O_{1}}{A_{1}O_{1}\sqrt{2}}\cdot SO= \end{equation} \begin{equation} =\frac{SO}{\sqrt{2}}=\frac{H}{\sqrt{2}}=\frac{H\sqrt{2}}{2} \end{equation} \begin{equation} SO_{1}=\frac{H\sqrt{2}}{2}- \end{equation} шукана відстань. \begin{equation} Відповідь: \frac{H\sqrt{2}}{2} \end{equation}