вправа 8.12 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

 


Вправа 8.12


Умова: 

 

Основою піраміди є прямокутний трикутник із катетами 6 см і 8 см, а всі двогранні кути при основі дорівнюють 60°. Знайдіть площу повної поверхні конуса, вписаного в цю піраміду.


Розв'язання:

вправа 8.12 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Нехай SАВС - піраміда,
АС = 6 см,
ВС = 8 см,
∠АСВ = 90°,
SК - апофема,
SО - висота піраміди,
∠SКО = 60°.
Нехай також в піраміду вписано конус,
тоді SО - висота конуса,
SК - твірна.
Так як всі бічні грані піраміди нахилені під однаковим кутом до основи, то т. О - центр вписаного кола в ΔАВС, тобто т. О - центр основи конуса, тоді ОК - радіус основи конуса (радіус кола вписаного в основу піраміди). Із ΔАВС: \begin{equation} AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}= \end{equation} \begin{equation} \sqrt{6^{2}+8^{2}}=10 (см) \end{equation} \begin{equation} OK=\sqrt{\frac{(p-AB)}{}}, \end{equation} \begin{equation} \sqrt{\frac{(p-BC)(p-AC)}{p}}, \end{equation} \begin{equation} p=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2}(10+8+6)=12 (см) \end{equation} \begin{equation} OK=\sqrt{\frac{1}{12}(12-10)} \end{equation} \begin{equation} \sqrt{(12-8)(12-6)}=2 (см) \end{equation} Із ΔSОК (∠SОК = 90°) \begin{equation} SK=\frac{OK}{cos\angle SKO}= \end{equation} \begin{equation} \frac{2}{cos60^{\circ}}=4 (см) \end{equation} Sпов. = πR(R + l) - площа повної поверхні конуса,
тоді Sпов. = π • ОК(ОК + SК) =
= π • 2(2 + 4) = 12π (см).
Відповідь: 12π см