вправа 9.11 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 9.11


Умова: 

Сфера дотикається до трьох сторін трикутника зі сторонами 5, 5, 8. Знайдіть радіус сфери, якщо її центр лежить у площині цього трикутника.

Розв'язання:



Нехай задано сферу, т. О - центр сфери.
Сфера дотикається до сторін ΔАВС в точках K, L, M.
Так як т. О лежить в площині ΔАВС, то велике коло - коло вписане в ΔАВС, ОК, ОL, ОМ - радіуси кола і відповідно, радіуси сфери.
За умовою АВ = 5, ВС = 8, АС = 5.
Радіус кола, вписаного в ΔАВС (а, відповідно і радіуси сфери) знайдемо за формулою: \begin{equation} r=OM=\sqrt{\frac{1}{p}(p-a)} \end{equation} \begin{equation} \sqrt{(p-b)(p-c)} \end{equation} \begin{equation} p=\frac{1}{2}(AB+AC+BC) \end{equation} \begin{equation} p=\frac{1}{2}(5+5+8)=9 \end{equation} \begin{equation} r=OM= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\frac{1}{9}(9-5)^{2}(9-8)}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{\frac{16}{9}}=1\frac{1}{3}. \end{equation} \begin{equation} Відповідь: 1\frac{1}{3} \end{equation}