вправа 9.13 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 9.13


Умова: 

Через середину радіуса кулі проведено площину, перпендикулярну до нього. Як відноситься площа утвореного перерізу до площі великого круга?

Розв'язання:



Нехай задано кулю,
т. О - центр кулі.
ОА = ОВ - радіус кулі,
т. О₁ - середина ОВ.
Через т. О₁ проведемо площину перпендикулярно ОВ.
Позначимо R - радіус кулі,
тоді ОА = R, \begin{equation} OO_{1}=\frac{1}{2}R. \end{equation} т. О₁ - центр круга (перерізу площини з кулею),
О₁А - радіус цього круга.
Із ΔОО₁А (∠ОО₁А = 90°) \begin{equation} O_{1}A=\sqrt{O^{2}-O_{1}O^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{R^{2}-(\frac{R}{2})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{R\sqrt{3}}{2} \end{equation} Площа утвореного круга: \begin{equation} S_{1}=\Pi \cdot O_{1}A^{2}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3R^{2}\Pi }{4} \end{equation} Площа великого круга: S₂ = πR².
Тоді \begin{equation} \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{3R^{2}\Pi }{4\Pi R^{2}}=\frac{3}{4}. \end{equation} Отже, площа утвореного перерізу відноситься до площі великого круга як 3 : 4.
Відповідь: 3 : 4