вправа 9.15 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 9.15


Умова: 

Сфера дотикається до однієї з паралельних площин і перетинає іншу по колу радіуса 4. Знайдіть радіус сфери, якщо відстань між площинами дорівнює 8.

Розв'язання:



Нехай задана сфера, т. О - центр сфери,
площина α дотикається сфери в т. А,
площина β перетинає сферу по колу з центром в т. О₁,
О₁В = 4 - радіус кола,
α║β.
Так як АО - радіус сфери,
то АО ┴ α,
АО ┴ β,
тоді АО₁ = 8 - відстань між α і β.
Позначимо R - радіус сфери,
тоді АО = ВО = R.
Із ΔВО₁О (∠ВО₁О = 90°) \begin{equation} OO_{1}=\sqrt{BO^{2}-BO_{1}^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{R^{2}-4^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{R^{2}-16} \end{equation} Так як АО = R,
то ОО₁ + АО₁ = АО
ОО₁ + АО₁ = R, тоді \begin{equation} \sqrt{R^{2}-16}-8=R \end{equation} R² - 16 = (R - 8)²
R² - 16 = R² - 16R + 64
16R = 8
R = 5.
Відповідь: 5