вправа 9.6 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Вправа 9.6


Умова: 

Усі вершини правильного трикутника зі стороною 6 дм належать сфері радіуса 8 дм. На якій відстані від центра сфери розташована площина трикутника?

Розв'язання:



Нехай задано сферу, т. О - центр сфери.
Проведемо площину α, яка перетину сферу по колу точки А, В, С лежать на сфері, тому ΔАВС вписаний в коло перетину.
Проведемо ОО₁ ┴ α,
тоді ОО₁ - відстань від т. О до площини ΔАВС,
т. О₁ - основа перпендикуляра ОО₁ і центр описаного кола навколо ΔАВС.
О₁А = О₁В = О₁С - радіуси цього кола.
За умовою ΔАВС - правильний, тому \begin{equation} O_{1}A=\frac{AB}{\sqrt{3}} \end{equation} \begin{equation} O_{1}A=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} (дм) \end{equation} Із ΔОО₁А (∠ОО₁А = 90°) \begin{equation} OO_{1}=\sqrt{AO^{2}-OA_{1}^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{8^{2}-(8\sqrt{3})^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{52}=2\sqrt{13} (дм) \end{equation} \begin{equation} Відповідь: 2\sqrt{13} (дм) \end{equation}