вправа 9.8 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

 


Вправа 9.8


Умова: 

 

Куля радіуса 3 дотикається до сторін рівностороннього трикутника в точках А, В і С. Визначте довжину найкоротшого шляху по поверхні кулі від точки А до точки В, якщо довжина сторони цього трикутника дорівнює 6.


Розв'язання:

вправа 9.8 гдз 11 клас математика (геометрія) Нелін Долгова 2019

Нехай задана куля.
Проведемо січну площину, яка перетинає кулю по колу.
ΔМNК лежить в січній площині і т. А, В, С - точки дотику кулі зі сторонами ΔМNК.
Проведемо ОО1 перпендикуляр до січної площини,
О1 - центр кола перерізу,
О1А, О1В,
О1С - радіуси кола,
ОА - радіус кулі,
ОА = 3,
МN = 6.
Найкоротший шлях від т. А до т. В - це дуга ∪АВ кола.
Так як ΔМNК - рівносторонній, то т. А, В, С ділять на 3 рівні дуги: ∪АВ, ∪ВС, ∪АС, тому довжина \begin{equation} \cup AB=\frac{2}{3}\Pi r, \end{equation} де r - радіус кола. \begin{equation} r=\frac{MN}{2\sqrt{3}}=\frac{6}{2\sqrt{3}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, \end{equation} тоді \begin{equation} \cup AB=\frac{2}{3}\Pi \sqrt{3}. \end{equation} \begin{equation} Відповідь: \frac{2\Pi \sqrt{3}}{3} \end{equation}