вправа 2.2.2 гдз 11 клас математика Нелін Долгова 2019
Вправа 2.2.2
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння.
Відповідь ГДЗ:
1) 49х - 6 • 7х - 7 = 0
Нехай 7x = t,
тоді t2 - 6t - 7 = 0
t1 = 7, t2 = -1
7х = 7 або 7х = -1
- немає розв'язків
так, як 7х > 0
х = 1.
Відповідь: 1
2) 64х - 7 • 8х - 8 = 0
Нехай 8х = t, t > 0,
тоді t2 - 7t - 8 = 0
t1 = 8, t2 = -1
- сторонній корінь
8х = 8
х = 1.
Відповідь: 1
3) 2х + 22-х = 5 \begin{equation} 2^{x}+\frac{4}{2^{x}}=5 \end{equation} Нехай 2х = t, t > 0, тоді \begin{equation} t+\frac{4}{t}=5 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-5t+4}{t}=0 \end{equation} t ≠ 0
t2 - 5t + 4 = 0
t1 = 1, t2 = 4 \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=1 \\ 2^{x}=4 \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=0 \\ x=2 \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: 0; 2
4) 3х + 32-х = 10 \begin{equation} 3^{x}+\frac{3^{2}}{3^{x}}=10 \end{equation} Нехай 3х = t, t > 0, тоді \begin{equation} t+\frac{9}{t}=10 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-10t+9}{t}=0 \end{equation} t ≠ 0
t2 - 10t + 9 = 0
t1 = 1, t2 = 9 \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x}=1 \\ 3^{x}=9 \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=0 \\ x=2 \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: 0; 2
5) 2х+1 + 4х = 8
2 • 2х + 22х = 8
Нехай 2х = t, t > 0
2t + t2 - 8 = 0
t2 + 2t - 8 = 0
t1 = 2, t2 = -4 - сторонній корінь
2х = 2
х = 1.
Відповідь: 1 \begin{equation} 6)\frac{3^{x}+3^{-x}}{3^{x}-3^{-x}}=2 \end{equation} \begin{equation} \frac{3^{x}+3^{-x}-2\cdot 3^{x}+2\cdot 3^{-x}}{3^{x}-3^ {-x}}=0 \end{equation} 3х - 3-х ≠ 0
3х ≠ 3-х
х ≠ -х
2х ≠ 0
х ≠ 0.
-3х + 3 • 3-х = 0
3х = 3 • 3-х
3х = 31-х
х = 1 - х
1 - 2х = 0
х = 0,5
Відповідь: 0,5
7) 101+х2 - 101-х2 = 99
10 • 10х2 - 10 • 10-х2 = 99
10(10х2 - 10-х2) = 99
Нехай 10х2 = t, t > 0
10(t - t-1) = 99 \begin{equation} 10(t-\frac{1}{t})=99 \end{equation} 10(t2 - 1) = 99t
10t2 - 99t - 10 = 0
Д = 9801 - 4 • 10(-10) = 10201 \begin{equation} t_{1}=\frac{99-101}{20}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{2}{20}- \end{equation} сторонній корінь \begin{equation} t_{2}=\frac{99+101}{20}=10 \end{equation} 10х2 = 10
х2 = 1 \begin{equation} \begin{bmatrix} x=-1 \\ x=1 \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: -1; 1
8) 10sin2x + 10cos2x = 11
sin2x = 1 - cos2x, тоді
101-cos2x + 10cos2x = 11 \begin{equation} \frac{10}{10^{cos^{2}x}}+10^{cos^{2}x}=11 \end{equation} Нехай 10cos2x = t, t > 0 \begin{equation} \frac{10}{t}+t-11=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-11t+10}{t}=0 \end{equation} t ≠ 0
t2 - 11t + 10 = 0
t1 = 10, t2 = 1
10cos2x = 10
cos2x = 1
x = 2πn, n ∈ Z
або
10cos2x = 1 cos2x = 0 \begin{equation} x=\frac{\Pi }{2}+\Pi k,k\in Z. \end{equation} Відповідь: 2πn; \begin{equation} \frac{\Pi }{2}+\Pi k,k\in Z \end{equation}
1) 49х - 6 • 7х - 7 = 0
Нехай 7x = t,
тоді t2 - 6t - 7 = 0
t1 = 7, t2 = -1
7х = 7 або 7х = -1
- немає розв'язків
так, як 7х > 0
х = 1.
Відповідь: 1
2) 64х - 7 • 8х - 8 = 0
Нехай 8х = t, t > 0,
тоді t2 - 7t - 8 = 0
t1 = 8, t2 = -1
- сторонній корінь
8х = 8
х = 1.
Відповідь: 1
3) 2х + 22-х = 5 \begin{equation} 2^{x}+\frac{4}{2^{x}}=5 \end{equation} Нехай 2х = t, t > 0, тоді \begin{equation} t+\frac{4}{t}=5 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-5t+4}{t}=0 \end{equation} t ≠ 0
t2 - 5t + 4 = 0
t1 = 1, t2 = 4 \begin{equation} \begin{bmatrix} 2^{x}=1 \\ 2^{x}=4 \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=0 \\ x=2 \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: 0; 2
4) 3х + 32-х = 10 \begin{equation} 3^{x}+\frac{3^{2}}{3^{x}}=10 \end{equation} Нехай 3х = t, t > 0, тоді \begin{equation} t+\frac{9}{t}=10 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-10t+9}{t}=0 \end{equation} t ≠ 0
t2 - 10t + 9 = 0
t1 = 1, t2 = 9 \begin{equation} \begin{bmatrix} 3^{x}=1 \\ 3^{x}=9 \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x=0 \\ x=2 \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: 0; 2
5) 2х+1 + 4х = 8
2 • 2х + 22х = 8
Нехай 2х = t, t > 0
2t + t2 - 8 = 0
t2 + 2t - 8 = 0
t1 = 2, t2 = -4 - сторонній корінь
2х = 2
х = 1.
Відповідь: 1 \begin{equation} 6)\frac{3^{x}+3^{-x}}{3^{x}-3^{-x}}=2 \end{equation} \begin{equation} \frac{3^{x}+3^{-x}-2\cdot 3^{x}+2\cdot 3^{-x}}{3^{x}-3^ {-x}}=0 \end{equation} 3х - 3-х ≠ 0
3х ≠ 3-х
х ≠ -х
2х ≠ 0
х ≠ 0.
-3х + 3 • 3-х = 0
3х = 3 • 3-х
3х = 31-х
х = 1 - х
1 - 2х = 0
х = 0,5
Відповідь: 0,5
7) 101+х2 - 101-х2 = 99
10 • 10х2 - 10 • 10-х2 = 99
10(10х2 - 10-х2) = 99
Нехай 10х2 = t, t > 0
10(t - t-1) = 99 \begin{equation} 10(t-\frac{1}{t})=99 \end{equation} 10(t2 - 1) = 99t
10t2 - 99t - 10 = 0
Д = 9801 - 4 • 10(-10) = 10201 \begin{equation} t_{1}=\frac{99-101}{20}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{2}{20}- \end{equation} сторонній корінь \begin{equation} t_{2}=\frac{99+101}{20}=10 \end{equation} 10х2 = 10
х2 = 1 \begin{equation} \begin{bmatrix} x=-1 \\ x=1 \end{bmatrix} \end{equation} Відповідь: -1; 1
8) 10sin2x + 10cos2x = 11
sin2x = 1 - cos2x, тоді
101-cos2x + 10cos2x = 11 \begin{equation} \frac{10}{10^{cos^{2}x}}+10^{cos^{2}x}=11 \end{equation} Нехай 10cos2x = t, t > 0 \begin{equation} \frac{10}{t}+t-11=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}-11t+10}{t}=0 \end{equation} t ≠ 0
t2 - 11t + 10 = 0
t1 = 10, t2 = 1
10cos2x = 10
cos2x = 1
x = 2πn, n ∈ Z
або
10cos2x = 1 cos2x = 0 \begin{equation} x=\frac{\Pi }{2}+\Pi k,k\in Z. \end{equation} Відповідь: 2πn; \begin{equation} \frac{\Pi }{2}+\Pi k,k\in Z \end{equation}