вправа 2.3.2 гдз 11 клас математика Нелін Долгова 2019
Вправа 2.3.2
Умова:
Умова:
Розв'яжіть рівняння.
Відповідь ГДЗ:
\begin{equation} 1)(\frac{2}{3})^{x}+(\frac{2}{3})^{x-1}>\frac{5}{2} \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x-1}+(\frac{2}{3}+1)>\frac{5}{2} \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x-1}\cdot \frac{5}{3}>\frac{5}{2}|\cdot \frac{3}{5} \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x-1}>\frac{3}{2} \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x-1}>(\frac{2}{3})^{-1} \end{equation} Так, як \begin{equation} y=(\frac{2}{3})^{x} \end{equation} спадна, то x - 1 < -1
x < 0.
Відповідь: (-∞; 0)
2) 3x+2 + 3x-1 < 28
3x-1(33 + 1) < 28
28 • 3x-1 < 28
3x-1 < 1
Так, як у = 3х зростаюча,
то x - 1 < 0
x < 1.
Відповідь: (-∞; 1)
3) 32x+1 + 8 • 3x - 3 ≥ 0
Нехай 3x = 7, тоді t ≥ 0
3 • t2 + 8t - 3 ≥ 0
3t2 + 8t - 3 = 0
Д = 64 - 4 • 3 • (-3) = 100 \begin{equation} t_{1}=\frac{-8+10}{6}=\frac{1}{3} \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-8-10}{6}=-3 \end{equation} Враховуючи, що t > 0 \begin{equation} 3^{x}=\frac{1}{3} \end{equation} x = -1
Так, як \begin{equation} t\in [\frac{1}{3};\propto ), \end{equation} то х ∈ [-1; +∞) \begin{equation} 4)6^{2x-1}-\frac{1}{3}\cdot 6^{x}-4\leq 0 \end{equation} Нехай 6x = t, t > 0,
тоді \begin{equation} \frac{1}{6}t^{2}-\frac{1}{3}t-4\leq 0|\cdot 6 \end{equation} t2 - 2t - 24 < 0
t2 - 2t - 24 = 0
t1 = 6, t2 = -4
-4 ≤ t ≤ 6
Враховуючи, що t > 0,
маємо 0 < t ≤ 6
6x ≤ 6
x ≤ 1
Відповідь: (-∞; 1]
5) 4х - 2х+1 - 8 > 0
22x - 2x+1 - 8 > 0
Нехай 2x = t, t > 0 тоді
t2 - 2t - 8 > 0
t1 = 4, t2 = -2
t ∈ (-∞; -2) U (4; +∞),
але так як t > 0,
то маємо лише t ∈ (4; +∞)
2х = 4
х = 2,
тоді х ∈ (2; +∞).
Відповідь: (2; +∞)
6) 9х - 12 • 3х + 27 ≤ 0
Нехай 3x = t, t > 0,
тоді t2 - 12t + 27 ≤ 0
t1 = 3, t2 = 9
Розв'язок нерівності t ∈ [3; 9]
тоді 3 ≤ 3х ≤ 9
1 ≤ х ≤ 2.
Відповідь: [1; 2]
\begin{equation} 1)(\frac{2}{3})^{x}+(\frac{2}{3})^{x-1}>\frac{5}{2} \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x-1}+(\frac{2}{3}+1)>\frac{5}{2} \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x-1}\cdot \frac{5}{3}>\frac{5}{2}|\cdot \frac{3}{5} \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x-1}>\frac{3}{2} \end{equation} \begin{equation} (\frac{2}{3})^{x-1}>(\frac{2}{3})^{-1} \end{equation} Так, як \begin{equation} y=(\frac{2}{3})^{x} \end{equation} спадна, то x - 1 < -1
x < 0.
Відповідь: (-∞; 0)
2) 3x+2 + 3x-1 < 28
3x-1(33 + 1) < 28
28 • 3x-1 < 28
3x-1 < 1
Так, як у = 3х зростаюча,
то x - 1 < 0
x < 1.
Відповідь: (-∞; 1)
3) 32x+1 + 8 • 3x - 3 ≥ 0
Нехай 3x = 7, тоді t ≥ 0
3 • t2 + 8t - 3 ≥ 0
3t2 + 8t - 3 = 0
Д = 64 - 4 • 3 • (-3) = 100 \begin{equation} t_{1}=\frac{-8+10}{6}=\frac{1}{3} \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{-8-10}{6}=-3 \end{equation} Враховуючи, що t > 0 \begin{equation} 3^{x}=\frac{1}{3} \end{equation} x = -1
Так, як \begin{equation} t\in [\frac{1}{3};\propto ), \end{equation} то х ∈ [-1; +∞) \begin{equation} 4)6^{2x-1}-\frac{1}{3}\cdot 6^{x}-4\leq 0 \end{equation} Нехай 6x = t, t > 0,
тоді \begin{equation} \frac{1}{6}t^{2}-\frac{1}{3}t-4\leq 0|\cdot 6 \end{equation} t2 - 2t - 24 < 0
t2 - 2t - 24 = 0
t1 = 6, t2 = -4
-4 ≤ t ≤ 6
Враховуючи, що t > 0,
маємо 0 < t ≤ 6
6x ≤ 6
x ≤ 1
Відповідь: (-∞; 1]
5) 4х - 2х+1 - 8 > 0
22x - 2x+1 - 8 > 0
Нехай 2x = t, t > 0 тоді
t2 - 2t - 8 > 0
t1 = 4, t2 = -2
t ∈ (-∞; -2) U (4; +∞),
але так як t > 0,
то маємо лише t ∈ (4; +∞)
2х = 4
х = 2,
тоді х ∈ (2; +∞).
Відповідь: (2; +∞)
6) 9х - 12 • 3х + 27 ≤ 0
Нехай 3x = t, t > 0,
тоді t2 - 12t + 27 ≤ 0
t1 = 3, t2 = 9
Розв'язок нерівності t ∈ [3; 9]
тоді 3 ≤ 3х ≤ 9
1 ≤ х ≤ 2.
Відповідь: [1; 2]