вправа 2.3.4 гдз 11 клас математика Нелін Долгова 2019

Відповідь ГДЗ:

\begin{equation} 1)(2^{x}-2)\sqrt{x^{2}-x-6}\geq 0 \end{equation} ОДЗ: x² - x - 6 ≥ 0
x² - x - 6 = 0
x₁ = -2, x₂ = 3
Тоді х ∈ (-∞; -2] U [3; +∞)
Нулі функції: \begin{equation} (2^{x}-2)\sqrt{x^{2}-x-6}=0, \end{equation} тоді 2^х - 2 = 0
2^х = 2
х₁ = 1
або
х² - х - 6 = 0
х₂ = -2
х₃ = 3
х₁ = -1 не входить в ОДЗ


Відповідь: {2} U [3; +∞) \begin{equation} 2)(3^{x-2}-1)\sqrt{x^{2}-2x-8}\leq 0 \end{equation} ОДЗ: x² - 2x - 8 ≥ 0
x² - 2x - 8 = 0
x₁ = -2, x₂ = 4
Тоді х ∈ (-∞; -2] U [4; +∞)
Нулі функції: \begin{equation} (3^{x-2}-1)\sqrt{x^{2}-2x-8}=0 \end{equation} 3x^-2 - 1 = 0
3x^-2 = 30
x - 2 = 0
x₁ = 2 - не входить в ОДЗ
або x² - 2x - 8 = 0
x₂ = -2
x₃ = 4


Відповідь: (-∞; -2] U {4} \begin{equation} 3)\sqrt{6\cdot 3^{x}-2}>3^{x}+1 \end{equation} ОДЗ: 6 • 3^x - 2 ≥ 0 \begin{equation} 3^{x}\geq \frac{1}{3} \end{equation} 3^x ≥ 3^-1
x ≥ -1
Так, як 3^x > 0, то 3^x + 1 > 1.
Піднесемо до квадрату
обидві частини нерівності:
6 • 3^x - 2 > (3^x + 1)²
6 • 3^x - 2 > 3^2x + 2 • 3^x + 1
3^2x + 2 • 3^x - 6 • 3^x + 1 + 2 < 0
3^2x - 4 • 3^x + 3 < 0
Нехай 3^x = t, t > 0,
тоді t² - 4t + 3 < 0
t² - 4t + 3 = 0
t₁ = 1, t₂ = 3
1 < t < 3, тоді
1 < 3^x < 3
3⁰ < 3^x < 3
0 < x < 1.
Відповідь: (0; 1) \begin{equation} 4)\sqrt{2\cdot 5^{x+1}-1}>5^{x}+2 \end{equation} ОДЗ: 2 • 5^x+1 - 1 ≥ 0
Так, як 5^x > 0, то 5^x + 2 > 2,
тоді піднесемо до квадрату
обидві частини нерівності:
2 • 5^x+1 - 1 > (5^x + 2)²
2 • 5^x+1 - 1 > 5^2x + 4 • 5^x + 4
5^2x + 4 • 5^x - 2 • 5^x • 5 + 4 + 1 < 0
5^2x - 6 • 5^x + 5 < 0
Нехай 5^x = t, t > 0,
тоді t² - 6t + 5 = 0
t₁ = 1, t₂ = 5
Тоді 1 < t < 5
1 < 5^x < 5
0 < x < 1.
Відповідь: (0; 1)