вправа 4.2.4 гдз 11 клас математика Нелін Долгова 2019
Вправа 4.2.4
Умова:
Умова:
Знайдіть значення х, при яких значення похідної функції f(x):
а) дорівнює нулю; б) додатне; в) від'ємне, якщо.
а) дорівнює нулю; б) додатне; в) від'ємне, якщо.
Відповідь ГДЗ:
1) f(x) = x2lnx
f'(x) = 0
ОДЗ: Д(f) = (0; +∞)
f'(x) = (x2)'lnx + x2(lnx)' = \begin{equation} =2xlnx+\frac{x^{2}}{x}= \end{equation} = 2xlnx + x
2xlnx + x = 0
x(2lnx + 1) = 0 \begin{equation} \begin{bmatrix} x\neq 0 \\ 2lnx+1=0 \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x\neq 0 \\ lnx=-\frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x\neq 0 \\ x=e^{-\frac{1}{2}} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x\neq 0 \\ x=\frac{1}{\sqrt{e}} \end{bmatrix} \end{equation} Визначимо де f'(x) > 0 та f'(x) < 0
за допомогою метода інтервалів.
Отже, f'(x) > 0 на проміжку: \begin{equation} x\in (\frac{1}{\sqrt{e}};+\propto ) \end{equation} f(x) < 0, якщо \begin{equation} x\in (0;\frac{1}{\sqrt{e}}). \end{equation} 2) f(x) = x3 - 3lnx \begin{equation} f'(x)=3x^{2}-\frac{3}{x} \end{equation} ОДЗ: Д(f) = (0; +∞)
f'(x) = 0 \begin{equation} 3x^{2}-\frac{3}{x}=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{3x^{3}-3}{x}=0 \end{equation} 3x3 - 3 = 0 | :3,
х ≠ 0
x3 - 1 = 0
x3 = 1
Отже, f(x) = 0, якщо х = 1.
Нанесемо нулі чисельника і
знаменника на числову пряму.
f'(x) > 0, додатня, якщо х ∈ (1; +∞) f'(x)
від'ємна, якщо х ∈ (0; 1). \begin{equation} 3)f(x)=\frac{lnx}{x} \end{equation} \begin{equation} f'(x)=\frac{(lnx)'x-x'lnx}{x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\frac{1}{x}\cdot x-lnx}{x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1-lnx}{x^{2}} \end{equation} ОДЗ: Д(f) = (0; +∞)
f'(x) = 0 \begin{equation} \frac{1-lnx}{x^{2}}=0 \end{equation} 1 - lnx = 0
1 = lnx
x = e
x2 ≠ 0
x ≠ 0
x > 0 - ОДЗ функції y = lnx.
Отже, f'(x) = 0, якщо х = е.
Враховуючи ОДЗ функції у = lnx
Д(у) = (0; +∞)
визначимо де f'(x) > 0 і f'(x) < 0.
f'(x) додатня, якщо х ∈ (0; е) f'(x)
від'ємна, якщо х ∈ (е; +∞). \begin{equation} 4)f(x)=\sqrt{x}lnx \end{equation} ОДЗ: Д(f) = (0; +∞) \begin{equation} f'(x)=(\sqrt{x})'lnx+\sqrt{x}(lnx)'= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot lnx+\frac{\sqrt{x}}{x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{lnx}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}} \end{equation} f'(x) = 0 \begin{equation} \frac{lnx}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{lnx+2}{2\sqrt{x}}=0 \end{equation} lnx + 2 = 0
lnx = -2
x = e-2 \begin{equation} x=\frac{1}{e^{2}} \end{equation} \begin{equation} 2\sqrt{x}>0 \end{equation} x > 0
Отже, f'(x) = 0 при \begin{equation} x=\frac{1}{e^{2}} \end{equation}
f'(x) додатня при \begin{equation} (\frac{1}{e^{2}};+\propto ) \end{equation} f'(x) від'ємна при \begin{equation} (0;\frac{1}{e^{2}}). \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 1)\frac{1}{\sqrt{e}};(\frac{1}{\sqrt{e}};+\propto );(0;\frac{1}{\sqrt{e}}). \end{equation} 2) 1; (1; +∞); (0; 1). 3) е; (0; е); (е; +∞). \begin{equation} 4)\frac{1}{e^{2}};(\frac{1}{e^{2}};+\propto );(0;\frac{1}{e^{2}}). \end{equation}
1) f(x) = x2lnx
f'(x) = 0
ОДЗ: Д(f) = (0; +∞)
f'(x) = (x2)'lnx + x2(lnx)' = \begin{equation} =2xlnx+\frac{x^{2}}{x}= \end{equation} = 2xlnx + x
2xlnx + x = 0
x(2lnx + 1) = 0 \begin{equation} \begin{bmatrix} x\neq 0 \\ 2lnx+1=0 \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x\neq 0 \\ lnx=-\frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x\neq 0 \\ x=e^{-\frac{1}{2}} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \begin{bmatrix} x\neq 0 \\ x=\frac{1}{\sqrt{e}} \end{bmatrix} \end{equation} Визначимо де f'(x) > 0 та f'(x) < 0
за допомогою метода інтервалів.
Отже, f'(x) > 0 на проміжку: \begin{equation} x\in (\frac{1}{\sqrt{e}};+\propto ) \end{equation} f(x) < 0, якщо \begin{equation} x\in (0;\frac{1}{\sqrt{e}}). \end{equation} 2) f(x) = x3 - 3lnx \begin{equation} f'(x)=3x^{2}-\frac{3}{x} \end{equation} ОДЗ: Д(f) = (0; +∞)
f'(x) = 0 \begin{equation} 3x^{2}-\frac{3}{x}=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{3x^{3}-3}{x}=0 \end{equation} 3x3 - 3 = 0 | :3,
х ≠ 0
x3 - 1 = 0
x3 = 1
Отже, f(x) = 0, якщо х = 1.
Нанесемо нулі чисельника і
знаменника на числову пряму.
f'(x) > 0, додатня, якщо х ∈ (1; +∞) f'(x)
від'ємна, якщо х ∈ (0; 1). \begin{equation} 3)f(x)=\frac{lnx}{x} \end{equation} \begin{equation} f'(x)=\frac{(lnx)'x-x'lnx}{x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\frac{1}{x}\cdot x-lnx}{x^{2}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1-lnx}{x^{2}} \end{equation} ОДЗ: Д(f) = (0; +∞)
f'(x) = 0 \begin{equation} \frac{1-lnx}{x^{2}}=0 \end{equation} 1 - lnx = 0
1 = lnx
x = e
x2 ≠ 0
x ≠ 0
x > 0 - ОДЗ функції y = lnx.
Отже, f'(x) = 0, якщо х = е.
Враховуючи ОДЗ функції у = lnx
Д(у) = (0; +∞)
визначимо де f'(x) > 0 і f'(x) < 0.
f'(x) додатня, якщо х ∈ (0; е) f'(x)
від'ємна, якщо х ∈ (е; +∞). \begin{equation} 4)f(x)=\sqrt{x}lnx \end{equation} ОДЗ: Д(f) = (0; +∞) \begin{equation} f'(x)=(\sqrt{x})'lnx+\sqrt{x}(lnx)'= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot lnx+\frac{\sqrt{x}}{x}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{lnx}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}} \end{equation} f'(x) = 0 \begin{equation} \frac{lnx}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{lnx+2}{2\sqrt{x}}=0 \end{equation} lnx + 2 = 0
lnx = -2
x = e-2 \begin{equation} x=\frac{1}{e^{2}} \end{equation} \begin{equation} 2\sqrt{x}>0 \end{equation} x > 0
Отже, f'(x) = 0 при \begin{equation} x=\frac{1}{e^{2}} \end{equation}
f'(x) додатня при \begin{equation} (\frac{1}{e^{2}};+\propto ) \end{equation} f'(x) від'ємна при \begin{equation} (0;\frac{1}{e^{2}}). \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 1)\frac{1}{\sqrt{e}};(\frac{1}{\sqrt{e}};+\propto );(0;\frac{1}{\sqrt{e}}). \end{equation} 2) 1; (1; +∞); (0; 1). 3) е; (0; е); (е; +∞). \begin{equation} 4)\frac{1}{e^{2}};(\frac{1}{e^{2}};+\propto );(0;\frac{1}{e^{2}}). \end{equation}