вправа 4.2.5 гдз 11 клас математика Нелін Долгова 2019
Вправа 4.2.5
Умова:
Умова:
Запишіть рівняння дотичної до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою х0.
Відповідь ГДЗ:
1) f(x) = cosx, \begin{equation} x_{0}=\frac{\Pi }{4} \end{equation} y - y0 = f'(x0)(x - x0)
- рівняння дотичної
f'(x) = -sinx \begin{equation} f'(x_{0})=-sin\frac{\Pi }{4}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{equation} \begin{equation} f(x_{0})=y_{0}= \end{equation} \begin{equation} =cos\frac{\Pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{equation} \begin{equation} f(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{\Pi }{4}) \end{equation} \begin{equation} f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}- \end{equation} \begin{equation} -\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{\Pi }{4}) \end{equation} \begin{equation} f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}- \end{equation} \begin{equation} -\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}\Pi }{8} \end{equation} \begin{equation} f(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}\Pi }{8} \end{equation} \begin{equation} f(x)=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\Pi }{\sqrt{2}\cdot 4} \end{equation} \begin{equation} y=f(x)= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{4+\Pi }{4\sqrt{2}}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{4+\Pi }{4\sqrt{2}} \end{equation} 2) f(x) = tg2x, \begin{equation} x_{0}=\frac{\Pi }{8} \end{equation} f(x) - f(x0) = f'(x0)(x - x0)
- рівняння дотичної \begin{equation} f(x_{0})=tg2\cdot \frac{\Pi }{8}= \end{equation} \begin{equation} =tg\frac{\Pi }{4}=1 \end{equation} \begin{equation} f'(x)=\frac{2}{cos^{2}2x} \end{equation} \begin{equation} f'(x_{0})=\frac{2}{cos^{2}2\cdot \frac{\Pi }{8}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{cos^{2}\frac{\Pi }{4}}=\frac{2}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=4 \end{equation} \begin{equation} f(x)-1=4(x-\frac{\Pi }{8}) \end{equation} \begin{equation} f(x)=1+4x-\frac{\Pi }{2} \end{equation} \begin{equation} y=f(x)=4x+1-\frac{\Pi }{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} y=4x+1-\frac{\Pi }{2} \end{equation} \begin{equation} 3)f(x)=e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}},x_{0}=0 \end{equation} f(x) - f(x0) = f'(x0)(x - x0) -
рівняння дотичної
f(x0) = e0 + e0 = 1 - 1 = 2 \begin{equation} f'(x)=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \end{equation} \begin{equation} f'(x_{0})=\frac{1}{2}\cdot e^{0}-\frac{1}{2}\cdot e^{0}=0 \end{equation} y = f(x) - 2 = 0
y = f(x) = 2.
Відповідь: у = 2 - рівняння дотичної
4) f(x) = lnx - x, x0 = 1
f(x) - f(x0) = f'(x0)(x - x0) -
рівняння дотичної
f(x0) = ln1 - 1 = 0 - 1 = 1 \begin{equation} f'(x)=\frac{1}{x}-1 \end{equation} f'(x0) = 1 - 1 = 0
f(x) - (-1) = 0
f(x) + 1 = 0
e = f(x) = -1.
Відповідь: у = -1
1) f(x) = cosx, \begin{equation} x_{0}=\frac{\Pi }{4} \end{equation} y - y0 = f'(x0)(x - x0)
- рівняння дотичної
f'(x) = -sinx \begin{equation} f'(x_{0})=-sin\frac{\Pi }{4}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{equation} \begin{equation} f(x_{0})=y_{0}= \end{equation} \begin{equation} =cos\frac{\Pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{equation} \begin{equation} f(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{\Pi }{4}) \end{equation} \begin{equation} f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}- \end{equation} \begin{equation} -\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{\Pi }{4}) \end{equation} \begin{equation} f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}- \end{equation} \begin{equation} -\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}\Pi }{8} \end{equation} \begin{equation} f(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}\Pi }{8} \end{equation} \begin{equation} f(x)=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\Pi }{\sqrt{2}\cdot 4} \end{equation} \begin{equation} y=f(x)= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{4+\Pi }{4\sqrt{2}}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{4+\Pi }{4\sqrt{2}} \end{equation} 2) f(x) = tg2x, \begin{equation} x_{0}=\frac{\Pi }{8} \end{equation} f(x) - f(x0) = f'(x0)(x - x0)
- рівняння дотичної \begin{equation} f(x_{0})=tg2\cdot \frac{\Pi }{8}= \end{equation} \begin{equation} =tg\frac{\Pi }{4}=1 \end{equation} \begin{equation} f'(x)=\frac{2}{cos^{2}2x} \end{equation} \begin{equation} f'(x_{0})=\frac{2}{cos^{2}2\cdot \frac{\Pi }{8}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{2}{cos^{2}\frac{\Pi }{4}}=\frac{2}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=4 \end{equation} \begin{equation} f(x)-1=4(x-\frac{\Pi }{8}) \end{equation} \begin{equation} f(x)=1+4x-\frac{\Pi }{2} \end{equation} \begin{equation} y=f(x)=4x+1-\frac{\Pi }{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} y=4x+1-\frac{\Pi }{2} \end{equation} \begin{equation} 3)f(x)=e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}},x_{0}=0 \end{equation} f(x) - f(x0) = f'(x0)(x - x0) -
рівняння дотичної
f(x0) = e0 + e0 = 1 - 1 = 2 \begin{equation} f'(x)=\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \end{equation} \begin{equation} f'(x_{0})=\frac{1}{2}\cdot e^{0}-\frac{1}{2}\cdot e^{0}=0 \end{equation} y = f(x) - 2 = 0
y = f(x) = 2.
Відповідь: у = 2 - рівняння дотичної
4) f(x) = lnx - x, x0 = 1
f(x) - f(x0) = f'(x0)(x - x0) -
рівняння дотичної
f(x0) = ln1 - 1 = 0 - 1 = 1 \begin{equation} f'(x)=\frac{1}{x}-1 \end{equation} f'(x0) = 1 - 1 = 0
f(x) - (-1) = 0
f(x) + 1 = 0
e = f(x) = -1.
Відповідь: у = -1