вправа 4.2.9 гдз 11 клас математика Нелін Долгова 2019
Вправа 4.2.9
Умова:
Умова:
Знайдіть найбільше і найменше значення заданої функції на вказаному відрізку.
Відповідь ГДЗ:
Найбільше і найменше значення функція приймає або в точках екструмуму або на кінцях проміжку. Знайдемо точки екстремуму функції: f'(x) = 1 - e-x f'(x) = 0 1 - e-x = 0 1 = e-x e-x = e0 -x = 0 x = 0 f(0) = 0 + e0 = 1 f(-1) = -1 + e-(-1) = = -1 + e =прибл 1,7 \begin{equation} f(2)=2+e^{-2}= \end{equation} \begin{equation} =2+\frac{1}{e^{2}}\approx 2,1 \end{equation} Отже, \begin{equation} f_{max}=f(2)=2+\frac{1}{e^{2}} \end{equation} fmin = f(0) = 1. Відповідь: \begin{equation} f_{max}=2+\frac{1}{e^{2}}; \end{equation} fmin = 1 2) f(x) = ln(2x) - 6x2 + 11x Найбільше і найменше значення функція приймає або в точках екстремуму, або на кінцях проміжку. Знайдемо точки екстремума функції: ОДЗ: Д(у) = (0; +ЗБ) \begin{equation} f'(x)=\frac{1}{2x}\cdot 2-12x+11= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{x}-12x+11 \end{equation} f'(x) = 0 \begin{equation} \frac{1}{x}-12x+11=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{1-12x^{2}+11x}{x}=0 \end{equation} 12x2 - 11x - 1 = 0 Д = 121 + 48 = 169 \begin{equation} x_{1}=\frac{11+13}{24}=1 \end{equation} \begin{equation} x_{2}=\frac{11-13}{24}=-\frac{1}{12}- \end{equation} сторонній корінь. Обчислимо значення функції в точках \begin{equation} x_{1}=1;x_{2}=\frac{1}{2};x_{3}=2 \end{equation} і порівняємо: f(1) = ln2 - 6 + 11 = = ln2 + 5 =прибл 5,7 \begin{equation} f(\frac{1}{2})=ln(2\cdot \frac{1}{2})- \end{equation} \begin{equation} -6\cdot (\frac{1}{2})^{2}+11\cdot \frac{1}{2}= \end{equation} \begin{equation} =ln1-\frac{6}{4}+\frac{11}{2}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{3}{2}+\frac{11}{2}=4 \end{equation} f(2) = ln(2 • 2) - 6 • 2 + 11 • 2 = = ln4 - 24 + 22 = ln4 - 2 =прибл -0,6. Відповідь: fmax = ln2 + 5 fmin = ln4 - 2
Найбільше і найменше значення функція приймає або в точках екструмуму або на кінцях проміжку. Знайдемо точки екстремуму функції: f'(x) = 1 - e-x f'(x) = 0 1 - e-x = 0 1 = e-x e-x = e0 -x = 0 x = 0 f(0) = 0 + e0 = 1 f(-1) = -1 + e-(-1) = = -1 + e =прибл 1,7 \begin{equation} f(2)=2+e^{-2}= \end{equation} \begin{equation} =2+\frac{1}{e^{2}}\approx 2,1 \end{equation} Отже, \begin{equation} f_{max}=f(2)=2+\frac{1}{e^{2}} \end{equation} fmin = f(0) = 1. Відповідь: \begin{equation} f_{max}=2+\frac{1}{e^{2}}; \end{equation} fmin = 1 2) f(x) = ln(2x) - 6x2 + 11x Найбільше і найменше значення функція приймає або в точках екстремуму, або на кінцях проміжку. Знайдемо точки екстремума функції: ОДЗ: Д(у) = (0; +ЗБ) \begin{equation} f'(x)=\frac{1}{2x}\cdot 2-12x+11= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{x}-12x+11 \end{equation} f'(x) = 0 \begin{equation} \frac{1}{x}-12x+11=0 \end{equation} \begin{equation} \frac{1-12x^{2}+11x}{x}=0 \end{equation} 12x2 - 11x - 1 = 0 Д = 121 + 48 = 169 \begin{equation} x_{1}=\frac{11+13}{24}=1 \end{equation} \begin{equation} x_{2}=\frac{11-13}{24}=-\frac{1}{12}- \end{equation} сторонній корінь. Обчислимо значення функції в точках \begin{equation} x_{1}=1;x_{2}=\frac{1}{2};x_{3}=2 \end{equation} і порівняємо: f(1) = ln2 - 6 + 11 = = ln2 + 5 =прибл 5,7 \begin{equation} f(\frac{1}{2})=ln(2\cdot \frac{1}{2})- \end{equation} \begin{equation} -6\cdot (\frac{1}{2})^{2}+11\cdot \frac{1}{2}= \end{equation} \begin{equation} =ln1-\frac{6}{4}+\frac{11}{2}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{3}{2}+\frac{11}{2}=4 \end{equation} f(2) = ln(2 • 2) - 6 • 2 + 11 • 2 = = ln4 - 24 + 22 = ln4 - 2 =прибл -0,6. Відповідь: fmax = ln2 + 5 fmin = ln4 - 2