вправа 5.2.4 гдз 11 клас математика Нелін Долгова 2019

Відповідь ГДЗ:

1) log₃²x - 3log₃x + 2 > 0
ОДЗ: x > 0
Нехай log₃x = t,
тоді t² - 3t + 2 = 0
t₁ = 1, t₂ = 2


Розв'язок нерівності t < 1 або t > 2.
Виконавши обернену заміну,
маємо log₃x < 1 y = log₃x
зростає log₃x > 2 x > 9,
тому x < 3.
Враховуючи ОДЗ,
маємо: х ∈ (0; 3) U (9; +∞). \begin{equation} 2)\frac{1}{3-lgx}+\frac{1}{1+lgx}>1 \end{equation} ОДЗ: x > 0
Нехай lgx = t, тоді \begin{equation} \frac{1}{3-t}+\frac{1}{1+t}>1 \end{equation} \begin{equation} \frac{1+t+3-t-(1+t)(3-t)}{(3-t)(1+t)}>0 \end{equation} Спростивши, маємо: \begin{equation} \frac{t^{2}-2t+1}{(3-t)(1+t)}>0 \end{equation} Розв'яжемо методом інтервалів:
t² - 2t + 1 = 0
t₁ = 1
(3 - t)(1 + t) ≠ 0
t₂ ≠ 3, t₃ ≠ -1



Розв'язок нерівності:
-1 < t < 1 або 1 < t < 3.
Виконавши обернену заміну, маємо:
-1 < lgx < 1
0,1 < x < 10
1 < lgx < 3
10 < x < 1000.
Відповідь: (0,1; 10) U (10; 100) \begin{equation} 3)log_{\frac{1}{3}}^{2}x-4\leq 0 \end{equation} ОДЗ: x > 0
Нехай \begin{equation} log_{\frac{1}{3}}x=t, \end{equation} тоді t² - 4 < 0
t² - 4 = 0
t² = 4
t₁ = -2, t₂ = 2


Розв'язок нерівності -2 < t < 2.
Виконавши обернену підстановку,
маємо: \begin{equation} -2< log_{\frac{1}{3}}x<2 \end{equation} \begin{equation} (\frac{1}{3})^{-2}\geq x\geq (\frac{1}{3})^{2} \end{equation} \begin{equation} 9\geq x\geq \frac{1}{9}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} [\frac{1}{9};9] \end{equation} \begin{equation} 4)log_{\frac{1}{2}}^{2}x+log_{\frac{1}{2}}x-2\geq 0 \end{equation} ОДЗ: x > 0 Нехай \begin{equation} log_{\frac{1}{2}}x=t, \end{equation} тоді t² + t - 2 > 0
t² + t - 2 = 0
t₁ = -2, t₂ = 1


Розв'язок нерівності: t < -2 або t > 1.
Виконаємо обернену підстановку: \begin{equation} log_{\frac{1}{2}}x\leq -2 \end{equation} \begin{equation} x\geq (\frac{1}{2})^{-2} \end{equation} \begin{equation} x\geq 4 \end{equation} або \begin{equation} log_{\frac{1}{2}}x\geq 1 \end{equation} \begin{equation} x\leq \frac{1}{2} \end{equation} Враховуючи ОДЗ,
маємо \begin{equation} x\in (0;\frac{1}{2}]U[4;\propto ). \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (0;\frac{1}{2}]U[4;\propto ) \end{equation}