вправа 5.2.6 гдз 11 клас математика Нелін Долгова 2019

Відповідь ГДЗ:

1) log₃log₂log_0,5x ≥ 0
ОДЗ: x > 0
log₃log₂log_0,5x ≥ log₃1
Так, як y = log₃x зростаюча
функція, то log₂log_0,5x ≥ 1
Так, як y = log₂x зростаюча
функція, то log_0,5x ≥ 2
Так, як y = log_0,5x спадна функція,
то x ≤ 0,5² \begin{equation} x\leq (\frac{1}{2})^{2} \end{equation} \begin{equation} =>x\leq \frac{1}{4} \end{equation} Враховуючи ОДЗ,
маємо: \begin{equation} x\in (0;\frac{1}{4}] \end{equation} Відповідь: \begin{equation} (0;\frac{1}{4}] \end{equation}\begin{equation} 2)log_{x}\sqrt{x+12}>1 \end{equation} ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x+12>0 & \\ x>0 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>-12 & \\ x>0 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>0 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right. \end{equation}
1. Нехай 0 < x < 1, тоді \begin{equation} log_{x}\sqrt{x+12}>log_{x}x \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x+12}<x
\end{equation}
x + 12 < x²
x² - x - 12 > 0
x₁ = -3, x₂ = 4


Розв'язок нерівності з урахування
ОДЗ х ∈ (0; 3) U (4; +∞).
Але 0 < x < 1 - проміжок, на якому розв'язано
нерівність, тому розв'язків немає.
2. Нехай x > 1, тоді \begin{equation} log_{x}\sqrt{x+12}>log_{x}x \end{equation} \begin{equation} \sqrt{x+12}>x \end{equation} x + 12 > x²
x² - x - 12 < 0
З урахуванням ОДЗ, розв'язок
нерівності х ∈ (0; 1) U (1; 4).
Але нерівність розв'язували на
проміжку x > 1, тому х ∈ (1; 4).
Відповідь: (1; 4)
3) log₂x + log_x2 ≤ 2,5
ОДЗ: \begin{equation} \left\{\begin{matrix} x>0 & \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} log_{2}x+\frac{1}{log_{2}x}\leq 2,5 \end{equation}Нехай log₂x = t, тоді t ≠ 0 \begin{equation} t+\frac{1}{t}\leq 2,5 \end{equation} \begin{equation} \frac{t^{2}+1-2,5t}{t}\leq 0 \end{equation} t² - 2,5t + 1 < 0
t² - 2,5t + 1 = 0
Д = 6,25 - 4 = 2,25 \begin{equation} t_{1}=\frac{2,5-1,5}{2}=\frac{1}{2} \end{equation} \begin{equation} t_{2}=\frac{2,5+1,5}{2}=2 \end{equation}

Розв'язок нерівності:
1. х > 1 \begin{equation} \frac{1}{2}\leq log_{2}x\leq 2 \end{equation} \begin{equation} \sqrt{2}\leq x\leq 4 \end{equation} 2. 0 < x < 1 \begin{equation} \frac{1}{2}\leq \frac{1}{log_{x}2}\leq 2 \end{equation} \begin{equation} 2\leq log_{{x}2}\leq \frac{1}{2} \end{equation}x² ≤ 2 ≤ √х
√х ≥ 2, тоді x ≥ 4
x² ≤ 2, тоді -√2 ≤ x ≤ 2.
Так, як 0 < x < 1, то розв'язок
у випадку 2. буде (0; 1).
Відповідь: (0; 1) U (√2; 4) \begin{equation} 4)log_{\frac{2x-1}{x-3}}3<0 \end{equation} ОДЗ:\begin{equation} \left\{\begin{matrix} \frac{2x-1}{x-3}>0 & \\ \frac{2x-1}{x-3}\neq 1 & \end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} \frac{2x-1}{x-3}>0 \end{equation} Розв'жемо методом інтервалів: \begin{equation} x=\frac{1}{2},x=3- \end{equation} нулі чисельника і знаменника відповідно.


\begin{equation} x\in (-\propto ;\frac{1}{2})U(3;+\propto ) \end{equation} \begin{equation} \frac{2x-1}{x-3}\neq 1 \end{equation} \begin{equation} \frac{2x-1-x+3}{x-3}\neq 0 \end{equation} \begin{equation} \frac{x+2}{x-3}\neq 0 \end{equation}=> x ≠ -2.
Отже, ОДЗ: \begin{equation} (-\propto ;-2)U(-2;\frac{1}{2})U(3;+\propto ) \end{equation}\begin{equation} log_{\frac{2x-1}{x-3}}3<0 \end{equation} Так, як \begin{equation} log_{\frac{2x-1}{x-3}}3<log_{\frac{2x+1}{x-3}}1, \end{equation}то нерівність буде
виконуватися, якщо \begin{equation} 0<\frac{2x-1}{x-3}<1 \end{equation} \begin{equation} \frac{2x-1}{x-3}<1 \end{equation}\begin{equation} \frac{2x-1}{x-3}-1<0 \end{equation} \begin{equation} \frac{2x-1-x+3}{x-3}<0 \end{equation} \begin{equation} \frac{x+2}{x-3}<0 \end{equation} x = -2 - нулі чисельника
x = 3 - нулі знаменника

Розв'язок цієї нерівності х ∈ (-2; 3).
Враховуючи ОДЗ, маємо: \begin{equation} x\in (-2;\frac{1}{2}), \end{equation} тобто х ∈ (-2; 0,5).
Відповідь: (-2; 0,5)