вправа 7.6 гдз 11 клас математика Нелін Долгова 2019
Вправа 7.6
Умова:
Умова:
Обчисліть (попередньо виконавши рисунок) площу фігури, обмеженої заданими лініями.
Відповідь ГДЗ:
1) у = х3, у = 8, х = 1
Знайдемо абсцису точки перетину графіків
у = х3 та у = 8
х2 = 8, тоді х = 2 \begin{equation} S=\int_{1}^{2}(8-x^{3})dx= \end{equation} \begin{equation} =(8x-\frac{x^{4}}{4})|_{1}^{2}= \end{equation} \begin{equation} =16-\frac{2^{4}}{4}-(8-\frac{1}{4})= \end{equation} \begin{equation} =12-8+\frac{1}{4}=4,25. \end{equation} Відповідь: 4,25
2) у = 2cosx, y = 1 \begin{equation} x=-\frac{\Pi }{3},x=\frac{\Pi }{3} \end{equation} \begin{equation} S=\int_{-\frac{\Pi }{3}}^{\frac{\Pi }{3}}(2cosx-1)dx= \end{equation} \begin{equation} =(2sinx-x)|_{-\frac{\Pi }{3}}^{\frac{\Pi }{3}}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\Pi }{3}+2sin\frac{\Pi }{3}- \end{equation} \begin{equation} -(\frac{\Pi }{3}+2sin(-\frac{\Pi }{3}))= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\Pi }{3}+\sqrt{3}\frac{\Pi }{3}+\sqrt{3}= \end{equation} \begin{equation} =2\sqrt{3}-\frac{2\Pi }{3}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 2\sqrt{3}-\frac{2\Pi }{3} \end{equation}
3) у = х2 - 2х + 4, у = 3, х = -1
Знайдемо абсциси точок перетину графіків
у = х2 - 2х + 4, у = 3
х2 - 2х + 4 = 3
х2 - 2х + 1 = 0 х = 1 \begin{equation} S=\int_{-1}^{1}(x^{2}-2x+4-3)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{1}(x^{2}-2x+1)dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x)|_{-1}^{1}= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{1}{3}-1+1- \end{equation} \begin{equation} -(-\frac{1}{3}-1-1)= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+2=2\frac{2}{3}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 2\frac{2}{3} \end{equation} 4) y = sinx, \begin{equation} y=\frac{1}{2},x=\frac{\Pi }{6}, \end{equation} \begin{equation} x=-\frac{5\Pi }{6} \end{equation} \begin{equation} S=\int_{-\frac{5\Pi }{6}}^{\frac{\Pi }{6}}(\frac{1}{2}-sinx)dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{1}{2}x+cosx)|_{-\frac{5\Pi }{6}}^{\frac{\Pi }{6}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi }{12}+cos\frac{\Pi }{6}- \end{equation} \begin{equation} -(\frac{1}{2}\cdot (-\frac{5\Pi }{6})+ \end{equation} \begin{equation} +cos(-\frac{5\Pi }{6}))= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi }{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{5\Pi }{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{3}+\frac{\Pi }{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \sqrt{3}+\frac{\Pi }{2} \end{equation}
1) у = х3, у = 8, х = 1
Знайдемо абсцису точки перетину графіків
у = х3 та у = 8
х2 = 8, тоді х = 2 \begin{equation} S=\int_{1}^{2}(8-x^{3})dx= \end{equation} \begin{equation} =(8x-\frac{x^{4}}{4})|_{1}^{2}= \end{equation} \begin{equation} =16-\frac{2^{4}}{4}-(8-\frac{1}{4})= \end{equation} \begin{equation} =12-8+\frac{1}{4}=4,25. \end{equation} Відповідь: 4,25
2) у = 2cosx, y = 1 \begin{equation} x=-\frac{\Pi }{3},x=\frac{\Pi }{3} \end{equation} \begin{equation} S=\int_{-\frac{\Pi }{3}}^{\frac{\Pi }{3}}(2cosx-1)dx= \end{equation} \begin{equation} =(2sinx-x)|_{-\frac{\Pi }{3}}^{\frac{\Pi }{3}}= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\Pi }{3}+2sin\frac{\Pi }{3}- \end{equation} \begin{equation} -(\frac{\Pi }{3}+2sin(-\frac{\Pi }{3}))= \end{equation} \begin{equation} =-\frac{\Pi }{3}+\sqrt{3}\frac{\Pi }{3}+\sqrt{3}= \end{equation} \begin{equation} =2\sqrt{3}-\frac{2\Pi }{3}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 2\sqrt{3}-\frac{2\Pi }{3} \end{equation}
3) у = х2 - 2х + 4, у = 3, х = -1
Знайдемо абсциси точок перетину графіків
у = х2 - 2х + 4, у = 3
х2 - 2х + 4 = 3
х2 - 2х + 1 = 0 х = 1 \begin{equation} S=\int_{-1}^{1}(x^{2}-2x+4-3)dx= \end{equation} \begin{equation} =\int_{-1}^{1}(x^{2}-2x+1)dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x)|_{-1}^{1}= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{1}{3}-1+1- \end{equation} \begin{equation} -(-\frac{1}{3}-1-1)= \end{equation} \begin{equation} =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+2=2\frac{2}{3}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} 2\frac{2}{3} \end{equation} 4) y = sinx, \begin{equation} y=\frac{1}{2},x=\frac{\Pi }{6}, \end{equation} \begin{equation} x=-\frac{5\Pi }{6} \end{equation} \begin{equation} S=\int_{-\frac{5\Pi }{6}}^{\frac{\Pi }{6}}(\frac{1}{2}-sinx)dx= \end{equation} \begin{equation} =(\frac{1}{2}x+cosx)|_{-\frac{5\Pi }{6}}^{\frac{\Pi }{6}}= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi }{12}+cos\frac{\Pi }{6}- \end{equation} \begin{equation} -(\frac{1}{2}\cdot (-\frac{5\Pi }{6})+ \end{equation} \begin{equation} +cos(-\frac{5\Pi }{6}))= \end{equation} \begin{equation} =\frac{\Pi }{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}+ \end{equation} \begin{equation} +\frac{5\Pi }{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}= \end{equation} \begin{equation} =\sqrt{3}+\frac{\Pi }{2}. \end{equation} Відповідь: \begin{equation} \sqrt{3}+\frac{\Pi }{2} \end{equation}