Вправа 1035 алгебра Бевз гдз 7 клас

№ 1035
Щоб скласти рівняння прямої, яка перетинає осі координат у заданих точках, скористаємося рівнянням прямої в загальному вигляді: $$
y=k x+b
$$ де $k$ - коефіцієнт нахилу (тобто, кутовий коефіцієнт), а $b$ - вільний член, тобто точка перетину прямої з віссю $y$.
a) Точки перетину: $A(-3 ; 0)$ і $B(0 ; 1)$
• Точка $A(-3,0)$ знаходиться на осі $x$, тобто $y=0$ при $x=-3$.
• Точка $B(0,1)$ знаходиться на осі $y$, тобто $x=0$ при $y=1$.
Маємо дві точки: $A(-3,0)$ і $B(0,1)$.
Щоб знайти рівняння прямої, скористаємося формулою для коефіцієнта нахилу $k$ : $$
k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
$$ де $\left(x_1, y_1\right)$ і $\left(x_2, y_2\right)$ - координати двох точок прямої.
Підставляємо точки $A(-3,0)$ і $B(0,1)$ : $$
k=\frac{1-0}{0-(-3)}=\frac{1}{3}
$$ Тепер, знаючи коефіцієнт нахилу $k=\frac{1}{3}$, можемо скласти рівняння прямої у вигляді: $$
y=\frac{1}{3} x+b
$$ Оскільки точка $B(0,1)$ знаходиться на прямій, підставимо $x=0$; $y=1$ у рівняння для знаходження $b$ : $$
1=\frac{1}{3} \cdot 0+b \quad \Rightarrow \quad b=1
$$
Отже, рівняння прямої: $$
y=\frac{1}{3} x+1
$$ б) Точки перетину: $M(4 ; 0)$ i $N(0 ; 5)$
• Точка $M(4,0)$ знаходиться на осі $x$, тобто $y=0$ при $x=4$.
• Точка $N(0,5)$ знаходиться на осі $y$, тобто $x=0$ при $y=5$.
Маємо дві точки: $M(4,0)$ і $N(0,5)$.
Знову скористаємося формулою для коефіцієнта нахилу $k$ : $$
k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
$$ де $\left(x_1, y_1\right)$ і $\left(x_2, y_2\right)$ - координати двох точок прямої.
Підставляємо точки $M(4,0)$ і $N(0,5)$ : $$
k=\frac{5-0}{0-4}=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}
$$ Тепер можемо скласти рівняння прямої:
$$
y=-\frac{5}{4} x+b
$$ Оскільки точка $N(0,5)$ знаходиться на прямій, підставимо $x=0$ і $y=5$ у рівняння для знаходження $b$ : $$
5=-\frac{5}{4} \cdot 0+b \quad \Rightarrow \quad b=5
$$ Отже, рівняння прямої: $$
y=-\frac{5}{4} x+5
$$ Відповідь:
а) Рівняння прямої: $y=\frac{1}{3} x+1$
б) Рівняння прямої: $y=-\frac{5}{4} x+5$