Вправа 1100 алгебра Бевз гдз 7 клас

№ 1100 $$
\left\{\begin{array}{l}
x+\frac{1}{3} y+\frac{1}{3} z=14 \\
y+\frac{1}{4} x+\frac{1}{4} z=8 \\
z+\frac{1}{5} x+\frac{1}{5} y=8
\end{array}\right.
$$ Множимо рівняння на 3,4,5 відповідно, щоб не було дробів. $$
\left\{\begin{aligned}
3 x+y+z & =42, \\
4 y+x+z & =32, \\
5 z+x+y & =40 .
\end{aligned}\right.
$$ Крок 1: Віднімемо перше рівняння з другим. $$
\begin{gathered}
(3 x+y+z)-(x+4 y+z)=42-32 \\
3 x-x+y-4 y+z-z=10 \\
2 x-3 y=10 .
\end{gathered}
$$ Крок 2: Віднімемо друге рівняння з третього. $$
\begin{gathered}
(4 y+x+z)-(5 z+x+y)=32-40 \\
4 y-y+x-x+z-5 z=-8 \\
3 y-4 z=-8 .
\end{gathered}
$$ Крок 3: Розв'яжемо систему рівнянь (1) i (2).
1. 3 рівняння (1): $$
\begin{gathered}
2 x=3 y+10 \\
x=\frac{3 y+10}{2}
\end{gathered}
$$ 2. Підставимо (3) у перше рівняння системи:
$$
\begin{gathered}
3\left(\frac{3 y+10}{2}\right)+y+z=42 . \\
\frac{9 y+30}{2}+y+z=42 .
\end{gathered}
$$ Помножимо на 2: $$
\begin{gathered}
9 y+30+2 y+2 z=84 . \\
11 y+2 z=54 .
\end{gathered}
$$ Крок 4: Розв'яжемо систему (2) i (4). $$
\left\{\begin{array}{l}
3 y-4 z=-8 \\
11 y+2 z=54
\end{array}\right.
$$ Розв'язуємо:
1. Помножимо перше рівняння на 2 : $$
6 y-8 z=-16
$$ 2. Додаємо до другого рівняння: $$
\begin{gathered}
(11 y+2 z)+(6 y-8 z)=54-16 \\
17 y-6 z=38
\end{gathered}
$$
Обчислимо значення. Розрахунки для $y \mathbf{i} z$ : $$
y=4, \quad z=5
$$ Крок 5: Знайдемо $x$.
Підставимо $y=4$ у рівняння для $x$ : $$
\begin{aligned}
& x=\frac{3(4)+10}{2} \\
& x=\frac{12+10}{2} \\
& x=\frac{22}{2}=11
\end{aligned}
$$ Відповідь: $$
x=11, \quad y=4, \quad z=5
$$