Вправа 1135 алгебра Бевз гдз 7 клас

№ 1135
a) $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=11 \\ 3 x+2 z=13 \\ 3 y+4 z=29\end{array}\right.$
Запишемо систему рівнянь:

$$\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y=11, \\ 3 x+2 z=13 \\ 3 y+4 z=29 . \end{array}\right.$$

1. Виразимо $y$ з першого рівняння:

$$3 y=11-2 x \quad \Rightarrow \quad y=\frac{11-2 x}{3}$$

2. Підставимо $y$ у третє рівняння:

$$\begin{gathered} 3\left(\frac{11-2 x}{3}\right)+4 z=29 \\ 11-2 x+4 z=29 \\ 4 z-2 x=18 \end{gathered}$$
3. Перепишемо друге рівняння:

$$3 x+2 z=13$$

Система:

$$\left\{\begin{array}{l} 4 z-2 x=18 \\ 3 x+2 z=13 \end{array}\right.$$

4. Розв'яжемо цю систему:

3 (2):

$$\begin{gathered} 2 z=13-3 x . \\ z=\frac{13-3 x}{2} \end{gathered}$$

Підставимо в (1):

$$\begin{gathered} 4\left(\frac{13-3 x}{2}\right)-2 x=18 \\ 2(13-3 x)-2 x=18 \\ 26-6 x-2 x=18 \\ 26-8 x=18 \\ 8 x=8 \quad \Rightarrow \quad x=1 \end{gathered}$$

5. Знайдемо $z$ :

$$\begin{gathered} z=\frac{13-3(1)}{2} . \\ z=\frac{13-3}{2}=\frac{10}{2}=5 . \end{gathered}$$
6. Знайдемо $y$ :

$$\begin{gathered} y=\frac{11-2(1)}{3} . \\ y=\frac{11-2}{3}=\frac{9}{3}=3 . \end{gathered}$$

Відповідь:

$$x=1, \quad y=3, \quad z=5$$

б) $\left\{\begin{array}{l}x+y-z=11 \\ x-y+z=1 \\ y+z-x=5\end{array}\right.$
Перетворюємо систему:

$$\left\{\begin{array}{l} x+y-z=11 \\ x-y+z=1 \\ y+z-x=5 \end{array}\right.$$

1. Складаємо перше і друге рівняння:

$$\begin{gathered} (x+y-z)+(x-y+z)=11+1 \\ 2 x=12 \quad \Rightarrow \quad x=6 \end{gathered}$$

2. Підставимо $x=6$ у перше і друге рівняння:
$$\left\{\begin{array}{l} 6+y-z=11 \\ 6-y+z=1 \end{array}\right.$$

3. Спрощуємо перше і друге рівняння:

$$\left\{\begin{array}{l} y-z=5 \\ -y+z=-5 \end{array}\right.$$

4. Складаємо ці рівняння:

$$\begin{gathered} (y-z)+(-y+z)=5-5 \\ 0=0 \end{gathered}$$

Отримали тотожність, тому виразимо $y$ із першого рівняння:

$$y=z+5$$

5. Підставимо $y=z+5$ у третє рівняння:

$$\begin{gathered} (z+5)+z-6=5 \\ 2 z-1=5 \\ 2 z=6 \Rightarrow z=3 \end{gathered}$$

6. Знайдемо $y$ :

$$y=3+5=8$$

Відповідь:

$$x=6, \quad y=8, \quad z=3$$
в) $\left\{\begin{array}{c}2 x-2 z-3 t=1, \\ x+4 z+2 y=7 \\ 3 x-z+t=0 ;\end{array}\right.$
Розв'яжемо систему методом підстановки або методом Гаусса.
1. З першого рівняння виразимо $x$ :

$$2 x=2 z+3 t+1 \Longrightarrow x=z+\frac{3}{2} t+\frac{1}{2} .$$

2. Підставимо $x$ у друге рівняння:

$$\left(z+\frac{3}{2} t+\frac{1}{2}\right)+4 z+2 t=7$$

Спрощуємо:

$$5 z+\frac{7}{2} t+\frac{1}{2}=7$$

Помножимо на 2:

$$10 z+7 t+1=14 \Longrightarrow 10 z+7 t=13$$
3. Підставимо $x$ у третє рівняння:

$$3\left(z+\frac{3}{2} t+\frac{1}{2}\right)-z+t=0$$

Спрощуємо:

$$\begin{gathered} 3 z+\frac{9}{2} t+\frac{3}{2}-z+t=0 \\ 2 z+\frac{11}{2} t+\frac{3}{2}=0 \end{gathered}$$

Помножимо на 2:

$$4 z+11 t+3=0$$

4. Розв'яжемо систему (4) i (5):

$$\left\{\begin{aligned} 10 z+7 t & =13 \\ 4 z+11 t & =-3 \end{aligned}\right.$$

Помножимо перше рівняння на 4, а друге на 10:

$$\left\{\begin{array}{l} 40 z+28 t=52 \\ 40 z+110 t=-30 \end{array}\right.$$

Віднімемо:

$$\begin{gathered} 40 z-40 z+28 t-110 t=52+30 \\ -82 t=82 \Longrightarrow t=-1 \end{gathered}$$

Знайдемо $z$ :

$$\begin{gathered} 10 z+7(-1)=13 \\ 10 z-7=13 \Longrightarrow 10 z=20 \Longrightarrow z=2 \end{gathered}$$
Знайдемо $x$ :

$$\begin{gathered} x=z+\frac{3}{2} t+\frac{1}{2} \\ x=2+\frac{3}{2}(-1)+\frac{1}{2} \\ x=2-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=1 . \end{gathered}$$

Відповідь:

$$x=1, \quad z=2, \quad t=-1$$

вправи поруч

1131 1132 1133 1134 1136 1137 1138 1139