Вправа 1173 алгебра Бевз гдз 7 клас

№ 1173
Якби мотоциклістка збільшила швидкість на 24 км/год, то відстань між містами А і В проїхала б на 1 год швидше. А якби зменшила швидкість на 12 км/год, то їхала б на 1 год довше. Знайди швидкість мотоциклістки і відстань між містами А і В.

Розв'язання:
Позначимо:
• $v$ - швидкість мотоциклістки (км/год);
• $S$ - відстань між містами $A$ і $B$ (км).

За умовою:
• Час у дорозі при звичайній швидкості дорівнює $t=\frac{S}{v}$.
• Якщо швидкість збільшити на 24 км/год, то час дорівнюватиме $\frac{S}{v+24}$ і цей час буде на 1 год менший: $$
\frac{S}{v}-\frac{S}{v+24}=1
$$ • Якщо швидкість зменшити на 12 км/год, то час дорівнюватиме $\frac{S}{v-12}$ і цей час буде на 1 год більший: $$
\frac{S}{v-12}-\frac{S}{v}=1
$$ Отримуємо систему рівнянь: $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{S}{v}-\frac{S}{v+24}=1 \\
\frac{S}{v-12}-\frac{S}{v}=1
\end{array}\right.
$$ Спрощуємо кожне рівняння.
1. Перше рівняння: $$
\frac{S}{v}-\frac{S}{v+24}=1
$$ Зведемо до спільного знаменника $v(v+24)$ : $$
\frac{S(v+24)-S v}{v(v+24)}=1
$$ Розкриємо дужки у чисельнику: $$
\frac{24 S}{v(v+24)}=1
$$ Помножимо на знаменник: $$
24 S=v(v+24)
$$ Отримаємо: $$
v^2+24 v-24 S=0
$$ 2. Друге рівняння: $$
\frac{S}{v-12}-\frac{S}{v}=1
$$ Зведемо до спільного знаменника $v(v-12)$ : $$
\frac{S v-S(v-12)}{v(v-12)}=1
$$ Розкриємо дужки у чисельнику: $$
\frac{12 S}{v(v-12)}=1
$$ Помножимо на знаменник: $$
12 S=v(v-12)
$$ Отримаємо:
$$
v^2-12 v-12 S=0
$$ Маємо систему рівнянь: $$
\left\{\begin{aligned}
v^2+24 v-24 S & =0 \\
v^2-12 v-12 S & =0
\end{aligned}\right.
$$ Віднімемо друге рівняння від першого: $$
\left(v^2+24 v-24 S\right)-\left(v^2-12 v-12 S\right)=0
$$ Спростимо: $$
36 v-12 S=0
$$ Поділимо на 12: $$
3 v-S=0
$$ Отже: $$
S=3 v
$$ Підставимо $S=3 v$ у перше рівняння: $$
\begin{gathered}
v^2+24 v-24(3 v)=0 \\
v^2+24 v-72 v=0 \\
v^2-48 v=0
\end{gathered}
$$
$$
v(v-48)=0
$$ Оскільки $v>0$, то $v=48$ км $/$ год.
Знайдемо $S$ : $$
S=3 v=3 \cdot 48=144 \text { км }
$$ Відповідь: швидкість мотоциклістки - 48 км/год, відстань між містами - 144 км.