Вправа 1185 алгебра Бевз гдз 7 клас
№ 1185
Задача В. А. Лебега. Розв’яжи у цілих додатних числах систему
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x+3 y+7 z=131 \\
2 x+3 y+8 z=140
\end{array}\right.
$$
Крок 1. Віднімемо перше рівняння від другого:
$$
\begin{gathered}
(2 x+3 y+8 z)-(2 x+3 y+7 z)=140-131 . \\
z=9 .
\end{gathered}
$$
Крок 2. Підставимо $z=9$ у перше рівняння:
$$
\begin{gathered}
2 x+3 y+7(9)=131 . \\
2 x+3 y+63=131 \\
2 x+3 y=68
\end{gathered}
$$
Крок 3. Знайдемо всі цілі додатні розв'язки рівняння
$$
2 x+3 y=68:
$$
Перетворимо рівняння:
$$
\begin{aligned}
& 3 y=68-2 x \\
& y=\frac{68-2 x}{3}
\end{aligned}
$$
Щоб $y$ було цілим числом, вираз $68-2 x$ повинен ділитися на 3.
Отже, перевіримо умови ділення:
$$
68 \quad \bmod 3=2, \quad \Rightarrow \quad(2 x \quad \bmod 3)=2
$$
Звідси випливає, що $x$ має бути таким, щоб $2 x \bmod 3=2$.
Розв'язуємо для $x$ : $x \bmod 3=1$.
Отже, $x$ може набувати значень: $x=1,4,7, \ldots, 34$ (усі значення $x$ такі, що $2 x+3 y=68$ і $y>0$ ).
Крок 4. Перебір розв'язків:
• Для $x=1: 2(1)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=66, y=22$.
• Для $x=4: 2(4)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=60, y=20$.
• Для $x=7: 2(7)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=54, y=18$.
• Для $x=10: 2(10)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=48, y=16$.
• Для $x=13: 2(13)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=42, y=14$.
• Для $x=16: 2(16)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=36, y=12$.
• Для $x=19: 2(19)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=30, y=10$.
• Для $x=22: 2(22)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=24, y=8$.
• Для $x=25: 2(25)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=18, y=6$.
• Для $x=28: 2(28)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=12, y=4$.
• Для $x=31: 2(31)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=6, y=2$.
• Для $x=34: 2(34)+3 y=68 \Rightarrow 3 y=0$, що не підходить ( $y$ має бути додатнім).
Остаточні розв'язки: для $z=9$ пари ( $x, y, z$ ) такі:
$$
\begin{aligned}
& (1,22,9),(4,20,9),(7,18,9),(10,16,9),(13,14,9),(16,12,9) \\
& (19,10,9),(22,8,9),(25,6,9),(28,4,9),(31,2,9)
\end{aligned}
$$
вправи поруч
