Вправа 1186 алгебра Бевз гдз 7 клас

№ 1186
Умова:
Знайти число, яке при діленні на 4,7 і 11 дає остачі відповідно 2,1 і 6 , причому сума часток на 2 менша від половини шуканого числа.

Розв'язання:
Позначимо шукане число як $x$.
1. Складаємо систему рівнянь для остач: $$
\begin{aligned}
& x \equiv 2(\bmod 4) \\
& x \equiv 1(\bmod 7) \\
& x \equiv 6(\bmod 11)
\end{aligned}
$$ 2. 3 першого рівняння: $$
x=4 k+2, \quad k \in \mathbb{Z}
$$ 3. Підставимо у друге рівняння: $$
\begin{gathered}
4 k+2 \equiv 1(\bmod 7) \\
4 k \equiv-1(\bmod 7) \\
4 k \equiv 6(\bmod 7)
\end{gathered}
$$ Знайдемо обернене до 4 за модулем 7 .
Множимо 4 на 2: $$
4 \cdot 2=8 \equiv 1(\bmod 7)
$$ Обернене - 2. $$
\begin{gathered}
k \equiv 6 \cdot 2(\bmod 7) \\
k \equiv 12 \equiv 5(\bmod 7) \\
k=7 m+5
\end{gathered}
$$
4. 3 першого рівняння: $$
\begin{gathered}
x=4(7 m+5)+2 \\
x=28 m+20+2 \\
x=28 m+22
\end{gathered}
$$ 5. Підставимо в третє рівняння: $$
\begin{gathered}
28 m+22 \equiv 6(\bmod 11) \\
28 m \equiv-16 \equiv-5 \equiv 6(\bmod 11) \\
6 m \equiv 6(\bmod 11)
\end{gathered}
$$ Поділимо на 6 (обернене до 6 - це 2 за модулем 11): $$
m \equiv 1
$$ Перевірка:
1. $50 \bmod 4=2$
2. $50 \bmod 7=1$
3. $50 \bmod 11=6$
7. Умова на частки: Частки: $$
50: 4=12, \quad 50: 7=7, \quad 50: 11=4
$$
Сума часток: $$
12+7+4=23
$$ Половина числа: $$
50 / 2=25
$$ Відповідь: шукане число 50.