Вправа 1358 алгебра Бевз гдз 7 клас

№ 1358
a) Розкладемо вираз на множники: $$
a^2 x^2-2 a b x^2+2 a b+b^2 x^2-a^2-b^2
$$ Групуємо члени: $$
\left(a^2 x^2-2 a b x^2+b^2 x^2\right)+\left(2 a b-a^2-b^2\right)
$$ Першу групу можна подати як повний квадрат: $$
(a x-b x)^2+\left(2 a b-a^2-b^2\right)
$$ Перетворимо другу групу: $$
2 a b-a^2-b^2=-\left(a^2-2 a b+b^2\right)=-(a-b)^2
$$ Отже, маємо: $$
(a x-b x)^2-(a-b)^2
$$ Це різниця квадратів, тож розкладемо за формулою: $$
(a x-b x-(a-b))(a x-b x+(a-b))
$$ Піднесемо до спрощеного вигляду: $$
(x(a-b)-(a-b))(x(a-b)+(a-b))
$$ Винесемо $(a-b)$ за дужки: $$
(a-b)(x-1)(x+1)
$$ Отже, остаточний розклад: $$
(a-b)(x-1)(x+1)
$$
б) Розкладемо вираз на множники: $$
a x^2-4 b^2 x+4 b^2+4 a^2-4 a x+b^2 x^2
$$ Перепишемо, групуючи члени: $$
\left(a x^2+b^2 x^2\right)+\left(-4 b^2 x-4 a x\right)+\left(4 b^2+4 a^2\right)
$$ Винесемо спільні множники: $$
x^2\left(a+b^2\right)-4 x\left(b^2+a\right)+4\left(a^2+b^2\right)
$$ Замітимо, що це квадрат двочлена: $$
(x(a+b)-2(a+b))^2
$$ Отже, остаточний розклад: $$
(x-2)(a+b)(x-2)
$$ або $$
(a+b)(x-2)^2
$$ Відповідь:
a) $(a-b)(x-1)(x+1)$
б) $(a+b)(x-2)^2$