Вправа 704 алгебра Бевз гдз 7 клас

№ 704
a) $77^{77}-33^{33}+22^{22}$ :
1. $77^{77}$ : Остання цифра числа $77-7$. Розглянемо останню цифру степенів числа 7 : $$
\begin{aligned}
& 7^1=7 \\
& 7^2=49 \Rightarrow 9 \\
& 7^3=343 \Rightarrow 3 \\
& 7^4=2401 \Rightarrow 1
\end{aligned}
$$
Цикл: $7,9,3,1$.
Довжина циклу - 4.
$77 \bmod 4=1$, тому остання цифра $77^{77}-7$.
2. $33^{33}$ : Остання цифра числа $33-3$. Розглянемо останню цифру степенів числа 3 : $$
\begin{aligned}
& 3^1=3 \\
& 3^2=9 \\
& 3^3=27 \Rightarrow 7 \\
& 3^4=81 \Rightarrow 1
\end{aligned}
$$
Цикл: $3,9,7,1$.
Довжина циклу - 4 .
$33 \bmod 4=1$, тому остання цифра $33^{33}-3$.
3. $22^{22}$ : Остання цифра числа $22-2$. Розглянемо останню цифру степенів числа 2 : $$
\begin{aligned}
& 2^1=2 \\
& 2^2=4 \\
& 2^3=8 \\
& 2^4=16 \Rightarrow 6
\end{aligned}
$$
Цикл: $2,4,8,6$.
Довжина циклу - 4 .
$22 \bmod 4=2$, тому остання цифра $22^{22}-4$.
4. Остаточний підрахунок: Остання цифра виразу: $7-3+4=8$. Відповідь до а): остання цифра -8 .
б) $142^{2003}-2003^{142}$ :
1. $142^{2003}$ : Остання цифра числа $142-2$. Цикл для числа $2: 2,4,8,6$.
$2003 \bmod 4=3$, тому остання цифра $142^{2003}-8$.
2. $2003^{142}$ : Остання цифра числа $2003-3$. Цикл для числа $3: 3,9,7,1$.
$142 \bmod 4=2$, тому остання цифра $2003^{142}-9$.
3. Остаточний підрахунок: Остання цифра виразу: $8-9=-1 \Rightarrow 9$ (остання цифра завжди додатна). Відповідь до б): остання цифра - 9 .
в) $248 \cdot 157^{326}+842 \cdot 326^{157}$ :
1. $157^{326}$ : Остання цифра числа $157-7$. Цикл для числа $7: 7,9,3,1$. $326 \bmod 4=2$, тому остання цифра $157^{326}-9$.
2. $326^{157}$ : Остання цифра числа $326-6$. Степені числа 6 завжди закінчуються на 6 . Тому остання цифра $326^{157}-6$.
3. $248 \cdot 157^{326}$ : Остання цифра числа $248-8$. Остання цифра добутку $8 \cdot 9=72-2$.
4. $842 \cdot 326^{157}$ : Остання цифра числа $842-2$. Остання цифра добутку $2 \cdot 6=12-2$.
5. Остаточний підрахунок: Остання цифра виразу: $2+2=4$. Відповідь до в): остання цифра -4.