Вправа 747 алгебра Бевз гдз 7 клас

№ 747
Доведи тотожність $\left(n^2+1\right)^2-\left(n^2-1\right)^2=4 n^2$. Користуючись нею, доведи, що квадрат кожного парного числа дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел.
1. Доведення тотожності: $$
\left(n^2+1\right)^2-\left(n^2-1\right)^2
$$
Розкриємо різницю квадратів: $$
\left(\left(n^2+1\right)-\left(n^2-1\right)\right) \cdot\left(\left(n^2+1\right)+\left(n^2-1\right)\right)
$$
Обчислимо вирази в дужках: $$
\left(n^2+1\right)-\left(n^2-1\right)=2, \quad\left(n^2+1\right)+\left(n^2-1\right)=2 n^2
$$
Підставимо їх: $$
2 \cdot 2 n^2=4 n^2
$$
Отже, тотожність доведено: $$
\left(n^2+1\right)^2-\left(n^2-1\right)^2=4 n^2
$$ 2. Доведення твердження: Нехай $k$ - будь-яке парне число, тоді $k=2 n$, де $n$ - ціле число. Квадрат числа $k$ : $$
k^2=(2 n)^2=4 n^2
$$
За доведеною тотожністю, $4 n^2$ можна записати як: $$
\left(n^2+1\right)^2-\left(n^2-1\right)^2
$$
Таким чином, квадрат будь-якого парного числа $k$ дорівнює різниці квадратів двох цілих чисел: $\left(n^2+1\right)^2$ та $\left(n^2-1\right)^2$. Відповідь: доведено, що квадрат кожного парного числа дорівнює різниці квадратів двох цілих чисел.

вправи поруч

743 744 745 746 748 749 750