Вправа 977 алгебра Бевз гдз 7 клас

№ 977

Розглянемо рівняння: $$
x^2+y^2=p
$$ де $p$ – параметр.
Аналіз задачі:
1. Вираз $x^2+y^2$ описує коло радіуса $\sqrt{p}$ з центром у точці $(0,0)$.
2. Для того щоб рівняння мало тільки один розв'язок, сума $x^2+y^2$ повинна дорівнювати $p$ лише в одній точці. Властивості:
- $x^2+y^2 \geq 0$, тобто $p \geq 0$.
- Коло має лише одну точку, якщо його радіус дорівнює нулю ( $p=0$ ), оскільки в цьому випадку точка центру $(0,0) є$ єдиним розв'язком. Висновок:
Рівняння має тільки один розв'язок, якщо: $$
p=0
$$ 1. У рівнянні $x^2+|y|=n-1$ :
- $x^2 \geq 0 \mathrm{i}|y| \geq 0$, тому $n-1 \geq 0$, тобто $n \geq 1$.
- $|y|=n-1-x^2$, і ця рівність визначає значення $y$ лише тоді, коли $n-1-x^2 \geq 0$, тобто: $$
x^2 \leq n-1
$$ 2. Щоб рівняння мало тільки один розв'язок, можлива лише одна комбінація значень $x$ і $y$, яка задовольняє рівняння. Це можливо лише тоді, коли область допустимих значень для $x^2$ i $|y|$ звужується до однієї точки.
Умови:
• $|y|=0 \Rightarrow y=0$.
• У такому разі $x^2=n-1$. Для існування лише одного розв'язку потрібно, щоб $x^2=n-1$ мало єдине значення $x$.
Це відбувається, коли $x=0$, тобто $n-1=0$, звідки: n = 1.