Вправа 6.119 гдз 7 клас алгебра Біляніна Білянін Андрух

№ 6.119
Розв’язати систему лінійних рівнянь з параметром

$$\left\{\begin{array}{l} a x+2 y=2 \\ (a+2) \cdot x+2 a y=a+2 \end{array}\right.$$


Нехай $\frac{a}{a+2}=\frac{2}{2 a}$, звідки

$$\begin{aligned} & 2 a^2=2 \bullet(a+2) \\ & a^2=a+2 \\ & a^2-a-2=0 \\ & a^2-a-1-1=0 \\ & a^2-1-(a+1)=0 \\ & (a-1) \bullet(a+1)-(a+1)=0 \\ & (a+1) \bullet(a-1-1)=0 \\ & (a+1) \bullet(a-2)=0 \end{aligned}$$


$$\text { Звідки } a+1=0, a_1=-1$$


$$a-2=0, a_2=2$$


Якщо $\mathrm{a}_1=-1$, то $\frac{-1}{-1+2}=\frac{2}{2 \cdot(-1)} \neq \frac{2}{-1+2},-1=-1 \neq 2-$ виконується умова $\frac{a_1}{a_1}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, отже система не має розв'язків.
Якщо а $=2$, то $\frac{2}{2+2}=\frac{2}{2 \cdot 2}=\frac{2}{2+2}, \frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-$ виконується умова $\frac{\mathrm{a}_1}{\mathrm{a}_2}=\frac{\mathrm{b}_1}{\mathrm{~b}_2}=\frac{\mathrm{c}_1}{\mathrm{c}_2}$, отже система має безліч розв'язків.
Якщо $\mathrm{a} \neq-1$ і а $\neq 2$, то система має один розв’язок.
Знайдемо його:

$$\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} 2 y=2-a x \\ (a+2) \cdot x+a \cdot(2-a x)=a+2, \end{array}\right. \\ & a x+2 x+2 a-a^2 x=a+2 \text {, } \\ & a x+2 x-a^2 x=a+2-2 a \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} & x \cdot\left(a+2-a^2\right)=2-a \\ & x=\frac{2-a}{-\left(a^2-a-2\right)^{\prime}} \\ & x=\frac{a-2}{(a+1) \cdot(a-2)}=\frac{1}{a+1}, \\ & 2 y=2-\frac{a}{a+1^{\prime}} \\ & y=1-\frac{a}{2 \cdot(a+1)} \end{aligned}$$


Відповідь: якщо $a=-1$ немає розв'язків, якщо $a=2$ - безліч розв’язків, якщо $a \neq-1$ і $a \neq 2$, то $x=\frac{1}{a+1}, y=1-\frac{a}{2 \cdot(a+1)}$