Вправа 19.5 гдз 7 клас алгебра Прокопенко Захарійченко Пекарська

Завдання № 19.5

Розв'яжіть способом підстановки систему рівнянь:
1) $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x-2 y}{12}=\frac{5}{6} \\
\frac{x+3 y}{9}=\frac{5}{3}
\end{array}\right.
$$ Позбудемося знаменників, помноживши перше рівняння на 12, а друге на 9: $$
\left\{\begin{array}{l}
x-2 y=10 \\
x+3 y=15
\end{array}\right.
$$ Віднімемо перше рівняння 3 другого: $$
\begin{gathered}
(x+3 y)-(x-2 y)=15-10 . \\
x+3 y-x+2 y=5 \\
5 y=5 \Rightarrow y=1
\end{gathered}
$$ Підставимо у перше рівняння: $$
x-2(1)=10 \Rightarrow x-2=10 \Rightarrow x=12
$$
Відповідь: $(12,1)$.
2) $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{5 x+y}{10}=\frac{9}{5} \\
\frac{7 x-y}{14}=\frac{9}{7}
\end{array}\right.
$$ Помножимо перше рівняння на 10, а друге на 14: $$
\left\{\begin{array}{l}
5 x+y=18 \\
7 x-y=18
\end{array}\right.
$$ Додаємо рівняння: $$
\begin{gathered}
5 x+y+7 x-y=18+18 \\
12 x=36 \Rightarrow x=3
\end{gathered}
$$ Підставимо у перше рівняння:
$$
5(3)+y=18 \Rightarrow 15+y=18 \Rightarrow y=3
$$ Відповідь: $(3,3)$.
3) $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x+5}{3}+\frac{y}{4}=2 \\
\frac{x+5}{9}+\frac{y}{2}=4
\end{array}\right.
$$ Помножимо перше рівняння на 12 (спільний знаменник для 3 і 4): $$
\begin{gathered}
4(x+5)+3 y=24 \\
4 x+20+3 y=24 \Rightarrow 4 x+3 y=4
\end{gathered}
$$ Помножимо друге рівняння на 18 (спільний знаменник для 9 і 2 ): $$
\begin{gathered}
2(x+5)+9 y=72 . \\
2 x+10+9 y=72 \Rightarrow 2 x+9 y=62
\end{gathered}
$$ Маємо систему: $$
\left\{\begin{array}{l}
4 x+3 y=4 \\
2 x+9 y=62
\end{array}\right.
$$ Помножимо перше рівняння на 3 , а друге на 1 : $$
\left\{\begin{array}{l}
12 x+9 y=12 \\
2 x+9 y=62
\end{array}\right.
$$ Віднімемо друге рівняння з першого: $$
10 x=-50 \Rightarrow x=-5
$$
Підставимо у перше рівняння: $$
\begin{gathered}
4(-5)+3 y=4 \\
-20+3 y=4 \Rightarrow 3 y=24 \Rightarrow y=8
\end{gathered}
$$ Відповідь: $(-5,8)$.
4) $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{4}+\frac{y-6}{5}=-2 \\
\frac{x}{8}+\frac{y-6}{10}=-1
\end{array}\right.
$$ Позбавимося знаменників
Помножимо перше рівняння на 20 (спільний знаменник для 4 i 5 ): $$
\begin{gathered}
5 x+4(y-6)=-40 \\
5 x+4 y-24=-40 \\
5 x+4 y=-16
\end{gathered}
$$ Помножимо друге рівняння на 40 (спільний знаменник для 8 і 10): $$
5 x+4(y-6)=-40
$$
$$
\begin{gathered}
5 x+4 y-24=-40 \\
5 x+4 y=-16
\end{gathered}
$$ Оскільки обидва рівняння однакові, система має безліч розв'язків.
Відповідь: $\infty$ (безліч розв'язків).
5) $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x+1}{2}+\frac{y-2}{3}=3 \\
\frac{x-1}{3}+\frac{y+2}{2}=\frac{10}{3}
\end{array}\right.
$$ Помножимо перше рівняння на 6 (спільний знаменник 2 і 3): $$
\begin{gathered}
3(x+1)+2(y-2)=18 \\
3 x+3+2 y-4=18 \Rightarrow 3 x+2 y=19
\end{gathered}
$$ Помножимо друге рівняння на 6 (спільний знаменник 3 і 2 ): $$
\begin{gathered}
2(x-1)+3(y+2)=20 \\
2 x-2+3 y+6=20 \Rightarrow 2 x+3 y=16
\end{gathered}
$$ Маємо систему: $$
\left\{\begin{array}{l}
3 x+2 y=19 \\
2 x+3 y=16
\end{array}\right.
$$
Помножимо перше рівняння на 3, а друге на 2: $$
\left\{\begin{array}{l}
9 x+6 y=57 \\
4 x+6 y=32
\end{array}\right.
$$ Віднімемо друге рівняння з першого: $$
5 x=25 \Rightarrow x=5
$$ Підставимо у перше рівняння: $$
\begin{gathered}
3(5)+2 y=19 \\
15+2 y=19 \Rightarrow 2 y=4 \Rightarrow y=2
\end{gathered}
$$ Відповідь: $(5,2)$.
6) $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x+3}{4}+\frac{y-1}{5}=2 \\
\frac{x-3}{5}+\frac{y+1}{4}=\frac{27}{20}
\end{array}\right.
$$ Помножимо перше рівняння на 20 (спільний знаменник 4 і 5): $$
\begin{gathered}
5(x+3)+4(y-1)=40 \\
5 x+15+4 y-4=40 \Rightarrow 5 x+4 y=29
\end{gathered}
$$ Помножимо друге рівняння на 20: $$
\begin{gathered}
4(x-3)+5(y+1)=27 \\
4 x-12+5 y+5=27 \Rightarrow 4 x+5 y=34
\end{gathered}
$$
Маємо систему: $$
\left\{\begin{array}{l}
5 x+4 y=29 \\
4 x+5 y=34
\end{array}\right.
$$ Помножимо перше рівняння на 5, а друге на 4: $$
\left\{\begin{array}{l}
25 x+20 y=145 \\
16 x+20 y=136
\end{array}\right.
$$
Віднімемо друге рівняння з першого: $$
9 x=9 \Rightarrow x=1
$$ Підставимо у перше рівняння: $$
\begin{aligned}
& 5(1)+4 y=29 \\
& 5+4 y= 29 \Rightarrow 4 y=24 \Rightarrow y=6
\end{aligned}
$$ Відповідь: $(1,6)$.