Вправа 20.2 гдз 7 клас алгебра Прокопенко Захарійченко Пекарська

Завдання № 20.2

Розв'яжіть систему рівнянь способом додавання.
1) $$
\left\{\begin{array}{l}
x+\frac{y}{3}=3 \\
-x+\frac{y}{2}=2
\end{array}\right.
$$
Помножимо перше рівняння на 3, а друге на 2: $$
\left\{\begin{array}{l}
3 x+y=9 \\
-2 x+y=4
\end{array}\right.
$$
Додаємо рівняння: $$
\begin{gathered}
(3 x+y)+(-2 x+y)=9+4 \\
x+2 y=13
\end{gathered}
$$
Віднімемо друге рівняння від першого: $$
\begin{gathered}
(3 x+y)-(-2 x+y)=9-4 \\
5 x=5 \Rightarrow x=1
\end{gathered}
$$
Підставимо у перше рівняння: $$
\begin{gathered}
1+\frac{y}{3}=3 \\
\frac{y}{3}=2 \Rightarrow y=6
\end{gathered}
$$
Відповідь: $(1,6)$.
2) $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{2}-y=-9 \\
\frac{x}{5}+y=2
\end{array}\right.
$$
Помножимо перше рівняння на 10, а друге на 5: $$
\left\{\begin{array}{l}
5 x-10 y=-90 \\
x+5 y=10
\end{array}\right.
$$
Віднімемо друге рівняння від першого: $$
(5 x-10 y)-(x+5 y)=-90-10
$$
$$
\begin{gathered}
5 x-10 y-x-5 y=-100 \\
4 x-15 y=-100
\end{gathered}
$$
Тепер помножимо друге рівняння на 4: $$
\left\{\begin{array}{l}
4 x-15 y=-100 \\
4 x+20 y=40
\end{array}\right.
$$
Віднімемо друге рівняння від першого: $$
\begin{gathered}
(4 x-15 y)-(4 x+20 y)=-100-40 \\
-35 y=-140 \\
y=4
\end{gathered}
$$
Знайдемо $x$ : $$
\begin{gathered}
x+5(4)=10 \\
x+20=10 \\
x=-10
\end{gathered}
$$
Відповідь: $(-10,4)$.
3) $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{2}+\frac{y}{6}=5, \\
-\frac{x}{4}-\frac{y}{6}=-3
\end{array}\right.
$$
Помножимо перше рівняння на 6, а друге на 12: $$
\left\{\begin{array}{l}
3 x+y=30 \\
-3 x-2 y=-36
\end{array}\right.
$$
Додаємо рівняння: $$
(3 x+y)+(-3 x-2 y)=30-36
$$
$$
-y=-6 \Rightarrow y=6
$$
Підставимо у перше рівняння: $$
\begin{gathered}
3 x+6=30 \\
3 x=24 \Rightarrow x=8
\end{gathered}
$$
Відповідь: $(8,6)$.
4) $$
\left\{\begin{array}{l}
-\frac{x}{7}+\frac{y}{3}=-5 \\
\frac{x}{7}+\frac{y}{4}=-2
\end{array}\right.
$$
Позбавимося знаменників:
Помножимо перше рівняння на 21 (спільний знаменник для 7 і 3 ), а друге на 28 (спільний знаменник для 7 і 4): $$
\left\{\begin{array}{l}
-3 x+7 y=-105 \\
4 x+7 y=-56
\end{array}\right.
$$
Віднімемо друге рівняння від першого: $$
\begin{aligned}
(-3 x+7 y)-(4 x+7 y) & =-105+56 \\
-3 x+7 y-4 x-7 y & =-49
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
-7 x & =-49 \\
x & =7
\end{aligned}
$$
Знайдемо $y$ :
Підставимо $x=7$ у друге рівняння: $$
\begin{gathered}
\frac{7}{7}+\frac{y}{4}=-2 \\
1+\frac{y}{4}=-2 \\
\frac{y}{4}=-3 \\
y=-12
\end{gathered}
$$
Відповідь: $(7,-12)$.
5) $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{8}+\frac{y}{5}=2 \\
\frac{x}{8}+\frac{y}{3}=4
\end{array}\right.
$$ Помножимо перше рівняння на 40, а друге на 24:
$$
\left\{\begin{array}{l}
5 x+8 y=80 \\
3 x+8 y=96
\end{array}\right.
$$
Віднімемо друге рівняння від першого: $$
\begin{gathered}
(5 x+8 y)-(3 x+8 y)=80-96 \\
2 x=-16 \Rightarrow x=-8
\end{gathered}
$$
Підставимо у перше рівняння: $$
\begin{gathered}
5(-8)+8 y=80 \\
-40+8 y=80 \\
8 y=120 \Rightarrow y=15
\end{gathered}
$$
Відповідь: $(-8,15)$.
6) $$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{3}-\frac{y}{9}=-3 \\
\frac{x}{2}-\frac{y}{9}=-4
\end{array}\right.
$$
Позбавимося знаменників:
Помножимо перше рівняння на 9, а друге на 18 (спільний знаменник 3 , 9 і 2): $$
\left\{\begin{array}{l}
3 x-y=-27 \\
9 x-2 y=-72
\end{array}\right.
$$
Розв'яжемо систему методом додавання:
Помножимо перше рівняння на 2 : $$
\left\{\begin{array}{l}
6 x-2 y=-54 \\
9 x-2 y=-72
\end{array}\right.
$$
Віднімемо перше рівняння від другого: $$
\begin{gathered}
(9 x-2 y)-(6 x-2 y)=-72+54 \\
9 x-6 x=-18 \\
3 x=-18 \Rightarrow x=-6
\end{gathered}
$$
Знайдемо $y$ :
Підставимо $x=-6$ у перше рівняння: $$
\begin{gathered}
3(-6)-y=-27 \\
-18-y=-27 \\
-y=-9 \Rightarrow y=9
\end{gathered}
$$
Відповідь: $(-6,9)$.