Вправа 31 розділ 3 повторення гдз 7 клас алгебра Тарасенкова Акуленко Данько

Розділ 3. Одночлени і многочлени

№ 31
Задача Діофанта. Доведіть, що для будь-яких чисел а, b, c id $d$ виконуються тотожності:

Доведення першої тотожності $$
\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=(a c+b d)^2+(b c-a d)^2
$$ Ліва частина: $$
\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)
$$ Розкриваємо добуток: $$
a^2 c^2+a^2 d^2+b^2 c^2+b^2 d^2
$$ Права частина: $$
(a c+b d)^2+(b c-a d)^2
$$ Розкриваємо квадрати: $$
\begin{aligned}
& (a c+b d)^2=a^2 c^2+2 a b c d+b^2 d^2 \\
& (b c-a d)^2=b^2 c^2-2 a b c d+a^2 d^2
\end{aligned}
$$ Додаємо: $$
\begin{gathered}
a^2 c^2+2 a b c d+b^2 d^2+b^2 c^2-2 a b c d+a^2 d^2 \\
a^2 c^2+b^2 c^2+a^2 d^2+b^2 d^2
\end{gathered}
$$ Отримали те саме, що й у лівій частині.
Тотожність доведена.
Доведення другої тотожності $$
\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=(a c-b d)^2+(b c+a d)^2
$$ Ліва частина така ж: $$
a^2 c^2+a^2 d^2+b^2 c^2+b^2 d^2
$$ Права частина: $$
(a c-b d)^2+(b c+a d)^2
$$ Розкриваємо квадрати: $$
\begin{aligned}
& (a c-b d)^2=a^2 c^2-2 a b c d+b^2 d^2 \\
& (b c+a d)^2=b^2 c^2+2 a b c d+a^2 d^2
\end{aligned}
$$ Додаємо: $$
\begin{gathered}
a^2 c^2-2 a b c d+b^2 d^2+b^2 c^2+2 a b c d+a^2 d^2 \\
a^2 c^2+b^2 c^2+a^2 d^2+b^2 d^2
\end{gathered}
$$ Отримали те саме, що й у лівій частині.
Тотожність доведена.