Вправа 41 розділ 2 повторення гдз 7 клас алгебра Тарасенкова Акуленко Данько
Розділ 2. Вирази і тотожності
№ 41
Умова:
За якого натурального значення змінної $n$ виконується нерівність:
1.
$$
\left(\frac{1}{0,25}\right)^3<4^n \leq-(-2)^5 \cdot(-3)^2
$$
2.
$$
\frac{1}{2} \leq 0,5^n \leq \frac{30^3}{6^3 \cdot 500} ?
$$
Розв'язання:
Обчислимо значення виразів:
$$
\begin{gathered}
\frac{1}{0,25}=4, \quad\left(\frac{1}{0,25}\right)^3=4^3=64 \\
-(-2)^5 \cdot(-3)^2=2^5 \cdot 9=32 \cdot 9=288
\end{gathered}
$$
Отримуємо нерівність:
$$
64<4^n \leq 288
$$
Перевіримо степені 4:
$$
4^3=64, \quad 4^4=256, \quad 4^5=1024
$$
При $n=3$ :
$$
4^3=64, \quad \text { не більше } 64
$$
При $n=4$ :
$$
4^4=256, \quad \text { задовольняє нерівність. }
$$
При $n=5$ :
$$
4^5=1024, \quad \text { більше } 288
$$
Єдине підходяще значення:
$$
n=4
$$
Відповідь: $n=4$.
$$
\frac{1}{2} \leq 0,5^n \leq \frac{30^3}{6^3 \cdot 500}
$$
1. Перетворимо праву частину
Розкладемо числа на множники:
$$
30=2 \cdot 3 \cdot 5, \quad 6=2 \cdot 3, \quad 500=2^2 \cdot 5^3
$$
Розпишемо степені:
$$
30^3=(2 \cdot 3 \cdot 5)^3=2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3
$$
$$
\begin{gathered}
6^3=(2 \cdot 3)^3=2^3 \cdot 3^3 \\
6^3 \cdot 500=\left(2^3 \cdot 3^3\right) \cdot\left(2^2 \cdot 5^3\right)=2^{3+2} \cdot 3^3 \cdot 5^3=2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^3
\end{gathered}
$$
Тепер підставимо у дріб:
$$
\frac{30^3}{6^3 \cdot 500}=\frac{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3}{2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^3}
$$
Скоротимо однакові множники:
$$
\frac{2^7 \cdot 3^z \cdot 5^3}{2^z \cdot 3^z \cdot 5^3 \cdot 2^2}
$$
Залишається:
$$
\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}
$$
Отже, нерівність набуває вигляду:
$$
0.5^1 \leq 0.5^n \leq 0.5^2
$$
2. Аналізуємо степені
$$
0.5^1 \leq 0.5^n \leq 0.5^2
$$
Прирівнюємо показники:
$$
1 \leq n \leq 2
$$
Оскільки $n$ - натуральне число, отримуємо два значення:
$$
n=1,2
$$
Відповідь: $n=1,2$.
